Integración. Área de una elipse

ENUNCIADO. Calcúlese el área de la elipse $$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$$



SOLUCIÓN.
En esta figura se ha representado una elipse reducida ( centrada en el origen de coordenadas ) de semiejes $a$ y $b$ ( con GeoGebra ). Despejando $y$ en dicha ecuación se llega a $$y=\pm \sqrt{1-(x/a)^2}$$ La mitad de dicho trazo en el semiplano superior es la función $$f(x)=\left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right|$$

El área pedia, dada la simetría con respecto al eje $Ox$, es igual a $$\text{Área}=2\,\int_{-a}^{a}\,\left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right|\,dx \quad \quad(1)$$ En otro artículo del blog se resolvió el problema de encontrar la familia de primitivas de dicha función:
$$\int\,\left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right|\,dx = \dfrac{a}{2}\,\left( \dfrac{x}{a}\,\left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right|+\arcsin\,(x/a)\right)+C$$ Así pues una función primitiva de $f(x)=\left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right|$ es $$F(x)=\dfrac{a}{2}\,\left( \dfrac{x}{a}\,\left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right|+\arcsin\,(x/a)\right)$$ Aplicando pues la regla de Barrow en (1) llegamos $\text{Área}=2\,b\,\left[ \left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right| +\arcsin\,(x/a) \right]_{-a}^{a}=2\,b\left(F(a)-F(-a)\right)=$
    $=ab\,(\pi/2-(-\pi/2))=\pi\,ab$
$\square$