Integració del moviment

Exemples d'aplicació de la integral indefinida (funcions primitives d'una funció donada)

Enunciat:
Considereu que la funció $v(t)=t^3-t^2+t+1$ ( $t$ designa la variable temps ) descriu la velocitat instantània d'una partícula en un moviment unidimensional i rectilini (al llarg de l'eix $\text{Ox}$). Sabent que a l'instant $t=1 \; \text{s}$, la posició $s$ és igual a $1 \, \text{m}$ (respecte de l'origen), determineu:
    a) la funció que dóna l'acceleració instanània $a(t)$
            [la funció acceleració instantània $a(t)$ és la funció derivada de la funció velocitat $v(t)$]
    b) la funció que dóna la posició en cada instant de temps $x(t)$
            [la funció velocitat instantània $v(t)$ és la funció derivada de la funció de posició instantànica $x(t)$]
    c) els valors de la posició, la velocitat, i l'acceleració per a $t=2 \, \text{s}$

Resolució:
a)     Trobem la funció acceleració derivant la funció velocitat
$a(t)=\dfrac{dx}{dt}$
        $=3\,t^2-2\,t+1$

b)     Per determinar la funció de posició cal resoldre el problema de la integral indefinida de la funció $v(t)$; és a dir,

$\displaystyle \int \,v(t)\,dt$

que, com és ben sabut, és igual a una família de funcions primitives $\{x(t)+C\}$     (on $C$ representa la constant d'integració )

Integrant (en aquest cas es tracta d'una i. semi immediata), trobem fàcilment

$\displaystyle \int \, \big(t^3-t^2+t+1 \big) \, dt = \dfrac{1}{4}\,t^4 - \dfrac{1}{3}\,t^3 + \dfrac{1}{2}\,t^2+ t + C \quad \quad \quad (1)$

I, imposant la condició inicial $x(1)=1$, determinem el valor de la constant d'integració: $C$

$\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}+1+C=1$

per tant

$C=-\dfrac{5}{12} \; \text{m}$

I, finalment, substituint aquest valor en (1) podem concretar la funció de posició

$x(t)=\dfrac{1}{4}\,t^4 - \dfrac{1}{3}\,t^3 + \dfrac{1}{2}\,t^2+ t - \dfrac{5}{12}$

c)     Substituint aquest valor de la variable temps a les funcions corresponents obtenim:
      $x(2)=\ldots=\dfrac{59}{12} \; \text{m}$ (la coordenada de posició es pot expressar com la distància a l'origen de coordenades)
      $v(2)=\ldots=7 \; \text{m}\;\text{s}^{-1}$
      $a(2)=\ldots=9 \; \text{m}\;\text{s}^{-2}$

$\square$