Consideremos una esfera maciza, en la que practicamos un orificio de polo a polo ...

ENUNCIADO
Consideremos una esfera maciza de radio $r$, en la que practicamos un orificio cilíndrico, de radio $a \prec r$, de tal modo que el eje de dicho cilindro coincida con un eje de simetría de la esfera. ¿ Cuál es el volumen del cuerpo resultante ?

SOLUCIÓN
Denominemos $V_1$ al volumen de la esfera; $V_2$ al volumen del cilindro, y $V_3$ al volumen de uno de los dos casquetes esféricos que visualizamos en la figura. Entonces, el volumen pedido es $$V_1-(V_2+2\,V_3) \quad \quad (1)$$
donde: $V_1=\dfrac{4}{3}\,\pi\,r^3$ y $V_2=\pi\,a^2\,h$, siendo $h=r-(r^2-a^2)$. Falta por calcular el volumen del casquete esférico. Pare ello, observemos la siguiente figura:

(Figura: Sección diametral de la esfera con el orificio. Notemos que en el proceso de integración por el método de la superposición de círculos infinitesimales; variando el radio de uno de estos discos genéricos, de grosor $dx$, entre $a$ y $0$ )Entonces, $$V_3=\int_{0}^{h}\,\pi\,a^{2}(x)\,dx \quad \quad (2)$$ y teniendo en cuenta que $$(r-x)^2+a^{2}(x)=r^2$$ podemos expresar el radio del círculo genérico en función de $x$ y $r$ $$a^{2}(x)=2xr-x^2$$ con lo cual podemos escribir la integral (2) de la forma $$\int_{0}^{h}\,(2xr-x^2)\,dx=\pi \, \left[ x^2\,r-\dfrac{1}{3}\,x^3 \right]_{0}^{h}=\dfrac{\pi\,h^2}{3}\,(3r-h)$$

Así, pues, de (1), obtenemos el volumen pedido: $$\dfrac{4}{3}\,\pi\,r^3-\left( \pi\,a^2\,h + \dfrac{2\,\pi\,h^2}{3}\,(3r-h) \right)$$
$\square$

[nota del autor]

Una partícula se desplaza en línea recta y su función de celeridad ...

ENUNCIADO
Una partícula se desplaza en línea recta y su función celeridad ( módulo de la velocidad ), en cada instante de tiempo, se describe mediante la función $v(t)=t^2$ ( en metros por segundo ). ¿ Qué distancia recorre entre los instantes de tiempo $t=1\,\text{s}$ y $t=10\,\text{s}$ ?

SOLUCIÓN
Como la función que proporciona la posición de la partícula en todo instante de tiempo ( respecto del origen de coordenadas ) viene dada por $$x(t)=\int\,v(t)\,dt+C$$ ( véase la entrada anterior en este mismo blog ), podemos calcular la distancia, $d$, pedida mediante el cálculo de la integral definida $$\int_{1}^{10}\,(t^2+C)\,dt$$ y, por el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo ( regla de Barrow ), esto es igual a $$\left[\dfrac{1}{3}\,(t^3+C)\right]_{1}^{10}=\dfrac{1}{3}\,(27-1)=\dfrac{26}{3}\,\text{m}$$

Comentario 1:
Observemos que, en este problema, no necesitamos conocer el valor concreto de la constante de integración, $C$; esto es, no es relevante la información de en qué posición se encuentra la partícula en tal o cuál momento, puesto que sólo se nos pide que calculemos la diferencia entre la posición final y la inicial, con lo cual, al aplicar la regla de Barrow, dicha constante se anula.

Comentario 2:
En estos problemas de cinemática, se puede ver que, el valor de la integral definida, si bien ésta está relacionada con el problema de hallar el "área bajo la curva" - con los necesarios matices -, no viene dado en unidades de área, en el sentido geométrico, sino en unidades de la magnitud física que dé significado a dicho cálculo; en este caso, se trata de la magnitud longitud; en otros casos, el alumno tiene ocasión de comprobar ( en la asignatura de Física ) que se refiere a otras magnitudes, como, por ejemplo, la energía, en su caso; y, otras veces, se tratará, pongamos como ejemplo, que de un número de individuos ( en un problema de dinámica de poblaciones ), tan propio de la Biología o de las Ciencias Sociales.

$\square$

[nota del autor]

Una partícula se mueve en línea recta, con una celeridad de ...

ENUNCIADO
Una partícula se mueve en línea recta, con una celeridad ( módulo de la velocidad ) dada por la función $v(t)=t^3$ ( en metros por segundo ). Se sabe que en el instante $t=1\,\text{s}$ se encuentra a $10\,\text{m}$ del origen de coordenadas. ¿ Cuál es su posición en cada instante de tiempo ? ¿ Cuál es la función que da el módulo de aceleración en cada instante de tiempo ?.

SOLUCIÓN
Como la función celeridad se define como la derivada de coordenada de posición, $x(t)$, respecto del origen de coordenadas, podemos escribir $$\dfrac{dx}{dt}=t^3$$ luego, empleando la notación de Leibniz $$dx=t^3\,dt$$ con lo cual $$\int dx = \int t^3\,dt$$ que es igual a la familia de primitivas $$x(t)=\dfrac{1}{4}\,t^4+C$$ Ahora bien, debemos determinar el valor de la constante de integración, dadas las condiciones del enunciado; así, pues, como $x(1)=10$ tenemos que $$10=\dfrac{1}{4}\,1^4+C $$ y por tanto, despejando la constante de integración, $$C=10-\dfrac{1}{4}=\dfrac{39}{4}$$. En consecuencia, $$x(t)=\dfrac{1}{4}\,x^4+\dfrac{39}{4}$$

Por otra parte, el módulo de la aceleración se define como el ritmo instantáneo de variación de la función celeridad, $a(t)=(v(t))'=(t^4)'=4\,t^3$. $\square$

[nota del autor]

fórmulas de Euler y de De Moivre ... ( artículo escrito en catalán )

Aquest escrit pot ser d'utilitat als alumnes de batxillerat que desitgin una ampliació de continguts. Cal haver treballat el tema introductori sobre nombres complexos i també les nocions de càlcul (anàlisi de funcions) necessàries per entendre la noció de desenvolupament d'una funció contínua i derivable en sèrie de potències.

Comencem. Donat un nombre complex $z=a+ib$, de mòdul $r$ i angle polar (fase) $\theta$, podem escrire-la també de la forma $z=r\,(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$, coneguda com expressió trigonomètrica del nombre complex $z$. A partir d'aquesta expressió, justificarem a continuació que $z$ es pot expressar de la forma $z=r\,e^{i\,\theta}$, coneguda com a fórmula d'Euler [que és molt útil per calcular productes i quocients de nombres complexos]. A partir d'aquest resultat, justificarem la fórmula de De Moivre: $z^n=r^{n}\,\big(\cos{(n\,\theta)}+i\,\sin{(n\,\theta)}\big)$ que es pot fer servir per determinar la potència d'un nombre complex i també per calcular les solucions del radical d'un nombre complex [Es pot demostrar que $\sqrt[n]{z}$ ( on $z \in \mathbb{C}$ ) té $n$ solucions complexes].

Fent el desenvolupament de Taylor en sèrie de potències la funció $\sin{\theta}$ al voltant de $x=0$ podem escriure $\sin{\theta}=0+\dfrac{x}{1!}-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\ldots$. I, fent el mateix amb la funció $\cos{\theta}$ trobem $\cos{\theta}=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\dfrac{x^8}{8!}-\ldots$

Si efectuem, ara, l'operació $\cos{\theta}+i\,\sin{\theta}$ a partir dels desenvolupaments de Taylor del paràgraf anterior veiem que és iugal a
$(1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\ldots)+i\,(\dfrac{x}{1!}-\dfrac{x^3}{3!}+\ldots)$

Per altra banda, si fem el desenvolupament en sèrie de Taylor de la funció $e^z$ al voltant de $z=0$ s'obté $1+z+\dfrac{z^2}{2!}+\dfrac{z^3}{3!}+\dfrac{z^4}{4!}+\ldots $. Si substituïm $z$ per $i\,x$ queda $1+i\,x-\dfrac{x^2}{2!}-i\,\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\ldots$; i si separem la part real de la imaginària, ens adonem que aquesta expressió es pot escriure també així
$(1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\ldots)+i\,(\dfrac{x}{1!}-\dfrac{x^3}{3!}+\ldots)$ que coincideix amb del desenvolupament de $\cos{\theta}+i\,\sin{\theta}$. Per tant, concloem que $e^{i\,\theta}=\cos{\theta}+i\,\sin{\theta}$ i, doncs, que $z$ - que és igual a $r\,(\cos{\theta}+i\,\sin{\theta})$ - es pot escriure de la forma $z=r\,e^{i\,\theta}$ (fórmula d'Euler).

I, a partir de la fórmula anterior, fent la potència d'exponent $n$ d'ambdós membres de la igualtat anterior podem escriure la igualtat $z^n=r^n\,e^{i\,n\,\theta}$ que, lògicament, per to el que s'ha dit anteriorment, es podrà escriure també de la forma $z^n=r^{n}\,\big(\cos{(n\,\theta)}+i\,\sin{(n\,\theta)}\big)$ (fórmula de De Moivre).
$\square$

[nota del autor]

Permutaciones y transposiciones ... ( Artículo escrito en catalán )

Les diverses disposicions d'un conjunt d'elements, atenent l'ordre amb què es posen, s'anomenen permutacions. El nombre de maneres d'ordenar les xifres {1,2,3,4,5} en cinc llocs en fila és igual a 5·4·3·2·1, és a dir, hi ha 120 possibilitats d'ordenar aquestes cinc xifres. Donada una d'aquestes ordenacions, com ara "13542", l'intercanvi de dos d'aquests elements (xifres, en el cas que ens ocupa) rep el nom de transposició. Un determinada ordenació o permutació, com ara l'anterior, es pot considerar que està formada per un cert nombre de transposicions, les quals la retornarien a l'ordre preestablert: "12345". En aquest cas, amb dues transposicions ho aconseguim.$\square$

[nota del autor]

Calcular el área delimitada por ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu el valor de l'àrea delimitada pel traç de la funció $f(x)=x$, l'eix d'abscisses, i les rectes $r_{1}:x=-1$ i $r_{2}:x=1$

Resolució:
Observem que la integral definida és igual a zero [exercici anterior]
$\displaystyle \int_{-1}^{1}\,x\,dx=0$
degut a que: a) $f(x)=x$ és una funció senar (imparell, és a dir $f(-x)=-f(x)$ ); i b) el domini d'integració és simètric. Per aquesta raó, l'àrea demanada (vegeu la Figura 1) no és nul·la: i tenint en compte el que hem dit és igual a
$\displaystyle \mathcal{A}=2\,\int_{0}^{1}\,x\,dx$
és a dir
$\displaystyle \mathcal{A}=2\,\Big(\dfrac{1}{2} \Big(1^2-(0)^2\Big)=1$

També es pot calcular l'àrea demanada prescindint de l'aparell del càlcul: simplement, cal calcular l'àrea dels triangles acolorits de la Figura 1; per això, n'hi ha prou a fer ús de la geomotria elemental que, com és fàcil veure, correspon a l'àrea d'un quadrat de costat igual a una unitat de longitud i, per tant, $\mathcal{A}=1$

$\square$

Figura 1

[nota del autor]

Un tren sale de una estación con una aceleración de ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un tren surt d'una estació amb una acceleració constant de $0,40 \, \text{m}\,\text{s}^{-2}$. Un passatger arriba a l'andana $6 \, \text{s}$ després que l'extrem final del tren abandonés la posició on ell, ara, es troba. Quina ha de ser la velocitat amb què s'ha de posar a córrer (suposem que ha de ser constant) per tal de poder donar-li abast ?

Solució:
Situem l'origen del sistema de referència en el punt on el passatger arriba a l'estació. Llavors, l'equació de posició del tren (m.r.u.a.) s'escriurà
            $x(t)=\dfrac{1}{2}\,a\,t^2 \quad \quad (1)$
i l'equació que descriu la posició del passatger (m.r.u), des que comença a córrer, és
            $x(t)=v\,(t-6) \quad \quad (2)$
on $v$ és la velocitat mínima del passatger per tal de poder donar-li abast

Considerant la situació en què el passatger dóna abast al tren, igualarem els segons membres de (1) i (2)
            $v_{m}\,(t-6)=\dfrac{1}{2}\,a\,t^2 \quad \quad (3)$
on $v_{m}$ representa la velocitat mínima demanada, ja que, pel cap baix, ha de tenir el mateix valor que el pendent de la recta tangent en el punt d'abcissa $t_{a}$ (punt on el passatger dóna abast al tren) i, doncs, el seu valor per a $t=t_a$
                                            $\bigg(\dfrac{1}{2}\,a\,t^2\bigg)_{t=t_a}^{'}$
ha de ser igual a la derivada de la funció de posició del tren (en el punt $t=t_a$)
és a dir
            $v_{m}=a\,t_{a} \quad \quad (4)$

Substituint aquest valor (4) a l'expressió (3), arribem a l'equació
            $a\,t_{a}\,\,(t_{a}-6)=\dfrac{1}{2}\,a\,t_{a}^2$
d'on obtenim
            $t_{a}=12 \, \text{s}$
i, finalment, posant aquest valor de a (4), trobem que
            $v_{m}=0,40 \cdot 12 \, \text{m}\,\text{s}^{-1}$
                  $=4,8 \, \text{m}\,\text{s}^{-1}$
Si el passatger es mou a velocitats més petites, no podrà donar abast al tren.
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de cálculo con determinantes ... ( Artículo escrito en catalán )

Resolver la siguiente ecuación:

Pueden leer la solución [ aquí ]. $\square$

[nota del autor]

determinante de una matriz cuadrada

A classe, hem introduït la noció de determinant a partir de la troballa d'un mètode pràctic per resoldre un sistema de dues equacions amb dues incògnites – mètode que en la seva generalització a m equacions amb m incògnites es coneix amb el nom de mètode de Cramer – i definint-lo de manera pràctica com el nombre real que resulta de multiplicar els coeficients de la diagonal principal d'una matriu quadrada. Així, si el sistema d'equacions és: a11·x+a12·y = b1 a21·x+a22·y=b2 Recordeu que ho podem posar en forma matricial s'escriu A·X=B on A és la matriu dels coeficients del sistema i B és la matriu columna dels termes independents. Si resolem el sistema pel mètode de substitució podem escriure l'expressió genèrica de la solució (si el sistema és compatible i determinat, és clar) de la manera següent: x = det(A_x)/det(A) y = det(A_y)/det(A) On la matriu Ax és la que resulta de substituir la 1a columna de la matriu A per la columna dels termes independents B, i Ay és la que resulta de substituir 2a 1a columna de la matriu A per la columna dels termes independents B. Aquí entenem per det(A) el nombre a21·a11-a21·a12, per det(Ax) el nombre b1·a21-b2·a12, per det(Ay) el nombre b2·a11-b1·a21. I, en general, entenent pel determinant d'una matriu genèrica M, d'ordre 2x2, això: det(M) = m21·m11-m21·m12. D'aquesta manera podem anar forjant la definició general d'això que entenem per determinant ... Es pot comprovar que el mètode es generalitza pel cas d'un sistema de tres equacions amb tres incògnites: a11x+a12y + a13z = b1 a21x+a22y + a23z = b2 a31x+a32y + a33z = b3 Efectivament, si es torna a repetir el procés de substitució per trobar la solució (suposem que és un sistema compatible i determinat): x = det(A_x)/det(A) y = det(A_y)/det(A) z = det(A_z)/det(A) Ara, però, la matriu dels coeficients A és d'ordre 3x3 i les matrius de les incògnites i dels termes independents són matrius 3x1. El procés de substitució acaba quallant en una regularitat que porta a definir el determinant de les matrius 3x3 de la manera: det(A) = a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 – a31·a22·a31 – a12·a21·a33 – a11·a23·a32       (Això és coneix amb el nom de regla de Sarrus ) I, de manera semblant (seguint la mateixa seqüència d'índexs) els determinants de les matrius Ax, Ay, i Az. Això ens empeny a definir el determinant d'una matriu genèrica M d'ordre 3x3 qualsevol de la forma: det(M) = m11·m22·m33 + m12·m23·m31 + m13·m21·m32 – m31·m22·m31 – m12·m21·m33 – m11·m23·m32. Entenem, doncs, el determinant d'una matriu quadrada com una aplicació del conjunt de les matrius quadrades en el conjunt dels nombres reals, amb les propietats que podem veure ressenyades als manuals i llibres de text. Recordeu que les matrius columna com ara X o bé B les interpretem com a vectors d'un espai vectoria V. Per tant, l'expressió A.X = B es pot entendre com una transformació (representada per la matriu dels coeficients A) o aplicació lineal de l'espai vectorial V sobre sí mateix. Pel que fa a l'operació determinant (que ens dóna un escalar) es pot entendre de la manera següent: Definició de determinant d'una matriu quadrada nxn: Donat un espai vectorial V i una matriu A quadrada (n files i n columnes) [aij] que, com és sabut, representa una aplicació lineal de V en V, es defineix el determinant de la matriu A (det A) com l'escalar resultant de l'aplicació del producte cartesià de l'espai vectorial V n vegades per si mateix, Vn, en el conjunt dels nombres reals R   (1) com la suma On representa una de les n! permutacions del conjunt (1,2,3,...,n). El conjunt de les n! permutacions s'anomena grup simètric de (1,2,3,...,n) i es denota Sn. La quantitat (signatura de la permutació) pot prendre tan sols un dels valors {-1,1}: el valor -1 si la permutació es pot descompondre en un nombre senar de transposicions per retornar a l'ordre natural (1,2,...,n), i el valor +1 si el nombre de transposicions necessàries és un nombre parell. Per exemple, la permutació (2,1,3) té signatura igual -1, ja que la permutació conté una sola transposició per tal que (2,1,3) es transformi en (1,2,3) [2->1;1->2]; per això, direm que la signatura d'aquesta permutació és igual a -1. Per contra, la permutació (2,3,1) es descompon en dues transpocions, [2->1;1_>2] i [3->2;2->3], i com que el nombre de transposicions és parell, la signatura de la permutació és igual a +1. Propietat: Regla general per calcular un determinant d'ordre n (desenvolupament de Laplace) Es pot demostrar, a partir de la definició que acabem de donar, que es pot calcular el valor d'un determinant d'ordre n, a partir del desenvolupament per la fila i-èssima tal i com s'indica a continuació [també es pot desenvolupar per una de les columnes/files]:     $\displaystyle \text{det}(A)=\sum_{i=1}^{n}\,a_{ij}\,c_{ij}=\sum_{j=1}^{n}\,a_{ij}\,c_{ij}$ tenint en compte que cij és el cofactor del coeficient aij de la matriu A.     $c_{ij}=(-1)^{i+j}\,m_{ij}$ on $m_{ij}$ és el valor del menor complementari que resulta de suprimir la fila $i$-èssima i la columna $j$-èssima corresponentes a $a_{ij}$ === (1)     Aquests tipus d'operacions es coneixen també amb el nom de formes lineals de Vn, o n forma

[nota del autor]

proposiciones recíproca, inversa y contrarecíproca ... ( Artículo escrito en catalán )

El llenguatge col·loquial, a vegades, ens pot jugar alguna mala passada. L'altre dia vaig escoltar una conversa entre dues persones. Una li deia a l'altra “ (...) així, tots els elefants són mamífers, però la (sic) inversa no es pot pas validar(...)”. De seguida vaig notar alguna cosa que no anava bé en allò que s'estava dient. En arribar a casa, rumiant més acuradament, me'n vaig adonar del que no estava bé. I és que, sovint, es confon la proposició inversa amb la proposició recíproca. De fet, la persona que havia parlat hauria hagut de dir: (...) així, tots els elefants són mamífers, però la recíproca (no pas inversa) no es pot pas validar (...)”, perquè, probablement, estava confonent proposició recíproca amb proposició inversa. Naturalment, la proposició inversa – la inversa de veritat – diria: “tot animal que no sigui un elefant no és un mamífer” que, clarament, no és pas certa; hi una ha infinitat de contra exemples (gossos, gats, dofins, etcètera). Val a dir, però que la proposició contra recíproca sí que és vàlida, però: “tot animal que no sigui mamífer no és un elefant”. Considerem una proposició donada de la forma A implica B la qual entendrem com a "proposició directa". A partir d'aquesta distingirem entre les següents proposicions associades: recíproca: B implica A inversa: no A implica no B contra recíproca: no B implica no A Vegem un altre exemple: Considerem la proposició directa: plou, per tant hi ha núvols (proposició certa, és clar). Associada amb aquesta hi ha tres proposicions més, de les quals, dues no es poden validar: recíproca: hi ha núvols, per tant plou (no es pot validar) inversa: no plou, per tant no hi ha núvols (no es pot validar ) contra recíproca: no hi ha núvols, per tant no plou (és certa) I el terme viceversa ? Per altra banda, aprofito per comentar que, a vegades, i de forma gens apropiada, es fa servir viceversa com a sinònim de inversa o de recíproca en les proposicions condicionals, la qual cosa crea, molt sovint, una nova font de confusió i error, ja que viceversa es refereix a la inversió de l'ordre dels termes (diccionari IEC). Sí que és apropiat el seu ús, per tant, per fer referència als sentits oposats d'una acció, per exemple, "Josep passa la pilota a Marta, i viceversa" (i Marta la passa a Josep). $\square$

[nota del autor]

Rango de una aplicación lineal ... ( Artículo escrito en catalán )

Una aplicació lineal f entre dos espais vectorials (f: U->V) ve representada per una matriu. El rang de l'aplicació lineal és igual al rang d'aquesta matriu associada. El següent exemple/exercici mostra com es pot trobar el rang d'una aplicació lineal donada. Tingueu en compte que el rang d'una matriu es defineix com l'ordre del major menor complementari no nul o, també, com a definició equivalent, el rang és igual al nombre de files no identicament nul·les que queden en esglaonar una matriu (això és així perquè el rang d'una matriu és invariant respecte les combinacions lineals entre files). Vegem doncs, tot seguit, l'exemple que us he preparat: Enunciat: Determineu el rang de l'aplicació lineal de l'espai vectorial R3 sobre l'espai vectorial R2 de tal manera que f(x1,x2,x3) = (x1+x2, 2x1-x3) Resolució: Primer de tot, trobem la matriu M de l'aplicació lineal. Tinguem en compte que (x1,x2,x3) és l'expressió d'un vector de R3 i que (x1+x2, 2x1-x3) és un vector de R2. La matriu M, aplicada sobre el vector de partida representa el producte d'aquesta per un vector 3 x 1, que ha de donar com a resultat un vector 2 x 1; és per això que l'ordre de M ha de ser 2 x 3. Caldrà que es compleixi de la qual cosa se'n desprèn el valor de cada coeficient de la matriu: m11 = 1 m12 = 1 m13 = 0 m21 = 2 m22 = 0 m23 = -1 La matriu dels coeficients de l'aplicació lineal és, per tant, Podem escriure l'aplicació lineal com la següent igualtat matricial: Per determinar el rang de l'aplicació lineal (de la matriu dels coeficients de l'aplicació lineal que acabem d'escriure), mirem si hi ha algun determinant d'ordre 2 (un dels tres majors menors complementaris) que sigui diferent de zero. I, efectivament, en trobem, si més no, un: que té un valor diferent de zero Per tant, atès que almenys un dels menors complementaris d'ordre 2 (el màxim ordre que poden tenir per a la matriu dels coeficients donada) el rang de l'aplicació lineal, és igual a l'ordre d'aquest determinant: 2

[nota del autor]

Encontrar el valor de la suma de ... ( Artículo escrito en catalán )

[nota del autor]

Derivar la función $y=x^x$ ... ( Artículo escrito en catalán )

Extraient logaritmes a cada costat de la igualtat queda
$\displaystyle \ln{f(x)}=h(x)\, \ln{g(x)}$
derivant a cada membre de la igualtat obtenim
$\displaystyle \frac{f^{'}(x)}{f(x)}=h^{'}(x)\,\cdot\,\ln{g(x)} + h(x)\,\cdot\,\dfrac{1}{g(x)}\,\cdot\,g^{'}(x)$
Aïllant, finalment, $f'(x)$, trobem
$\displaystyle f'(x)=f(x)\,\cdot\,\Bigg(h^{'}(x)\,\cdot\,\ln{g(x)} + h(x)\,\cdot\,\dfrac{1}{g(x)}\,\cdot\,g^{'}(x)\Bigg)$
$\square$

Exemple 1
Trobeu la funció derivada de la funció $y=x^x$

===

Extraient logaritmes a cada membre
$\ln{y}=x\,\cdot\,\ln{x}$
Derivant a cada membre
$\dfrac{y^{'}}{y}=1\,\cdot\,\ln{x}+x\,\cdot\,\dfrac{1}{x}$
que, aïllant $y^{'}$, i simplificant
$\displaystyle y^{'}=x^x \, \cdot \, \big(\ln{x}+1\big)$
$\square$

Exemple 2
Demostreu que si $y=x^{k}$, on $k \in \mathbb{R}$, llavors
$y^{'}=k\,\cdot\,x^{k-1}$

===

Extraiem logaritmes a cada membre

$\ln{y}=k\,\ln{x}$

i, derivant (a cada costat de la igualtat), podem escriure

$\dfrac{1}{y}\,\cdot\,y^{'}=k\,\cdot\,\dfrac{1}{x}$

per acabar, aïllem $y^{'}$ del primer membre

$y^{'}=y\,\cdot\,\dfrac{k}{x}$

expressió que, donada la definició de $y$, s'escriu

$y^{'}=x^{k}\,\cdot\,\dfrac{k}{x}$

i, simplificant

$y^{'}=k\,\cdot\, x^{k-1}$

$\square$

[nota del autor]

Analizar la continuidad y la derivabilidad de la función en ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu la següent funció:
$f(x)=\left\{\begin{matrix}(x+1)^3 \quad \text{si} \quad x \le 0\\\\2 \quad \text{si} \quad x=1\\\\-x^2+2 \quad \text{si} \quad x > 0 \; \wedge \; x \neq 1\\ \end{matrix}\right.$

Us demanem:

    a) La representació gràfica de la funció

    b) Localitzeu els punts de discontinuïtat i classifiqueu-los de forma analítica. Digueu de quin tipus de discontinuïtat es tracta. [ Cal que raoneu a partir dels valors dels límits laterals (si existeixen), del límit global (si existeix o no), i del valor de la funció en el punt de discontinuïtat considerat ( si la funció està definida en aquest punt, és clar )]

    c) Calculeu el valor de la derivada de la funció per al punt d'abscissa $x=-1$

    d) Indiqueu per a quins valors de la variable independent la funció no és derivable. Expliqueu per què.

Resolució:
a)   Dibuixem el gràfic (vegeu la Figura 1) d'acord amb la definició (a troços) de la funció; a partir del traç de la paràbola semicúbica $x^3$ (desplaçada una unitat en el sentit negatiu de l'eix d'abscisses), i dibuixant el traç de la funció quadràtica $x^2$ (desplaçada dues nunitats en el sentit positiu de l'eix d'ordenades i invertint-la).
$\square$

Figura 1

b)   La funció presenta una discontinuïtat essencial de primera espècie (en concret, de salt finit) per a $x=0$, atès que el els límits laterals existeixen i tenen valor finit, però no coincideixen
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\,f(x)=1$
i
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{-}}\,f(x)=2$
per aquesta raó
$\displaystyle \nexists \lim_{x \rightarrow 0}\,f(x)$

Per altra banda, hi ha una discontinuïtat no essencial (evitable) a $x=1$ perquè per bé que
$\displaystyle \exists \lim_{x \rightarrow 1}\,f(x)$ (i és igual a $1$), el seu valor no és igual al valor de la funció per a $x=1$ (que és igual a $2$)
$\square$

c)   Per a calcular $f^{'}(-1)$, tindrem en compte que [ d'acord amb la definició de la funció ], per a $x=-1$, cal derivar l'expressió del primer tram, que és igual a
$\bigg( (x+1)^3 \bigg)^{'}=3\,(x+1)^2$
Per a $x=-1$ pren el valor
$3\,(-1+1)^2=0$
$\square$

d)   Lògicament, la funció no és derivable en els punts on és discontínua: $x=0$ i $x=-1$. Per altra banda, per a la resta de punts del domini d'existència ( $D = \mathbb{R}$ ), el límit que defineix la derivada existeix (els límits laterals existeixen i coincideixen) i, per tant, la funció és derivable en tots aquests altres punts.
$\square$

[nota del autor]

Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ... ( Artículo escrito en catalán )

Encunciat:
Determineu l'equació de la recta tangent a la corba $f(x)=-x^2+5$ en el punt d'abscissa igual a $2$

Resolució:
Escriurem l'equació de la recta tangent en forma explícita
$\text{r.t.}:\,y=m\,x+k$
Calcularem, doncs, el valor dels coeficients $m$ (pendent) i $k$ (ordenada a l'origen); per això, tindrem en compte: a) el pendent $m$ és igual al valor de la derivada de la funció en el punt P d'abscissa donada (significat geomètric de la derivada), i b) les ordenades de la recta tangent i de la corba han de tenir el mateix valor en el punt de tangència.

a) La funció derivada s'obté fàcilment (regles de derivació):
        $f^{'}(x)=-2\,x$
i en el punt P d'abscissa $x=2$ pren el valor
        $f^{'}(2)=-4$
que ha de correspondre al valor de $m$

b) En el punt P d'abscissa $x=2$ (punt de tangència i, per tant, de contacte de la recta i la corba) l'ordenada de la funció ha de ser igual a l'ordenada de la recta tangent. L'ordenada de P, per la funció $f(x)$, és igual a
        $f(2)=-2^2+5$
                  $=1 \quad \quad \quad \quad \quad (1)$
I, d'acord amb l'equació de la recta, l'ordenada P és igual a
        $2\,m+k$
i, atès que $m=-4$ queda igual a
        $2\,(-4)+k \quad \quad \quad \quad (2)$

Igualant (1) i (2)
        $-8+k = 1$
i, d'aquí, trobem el valor de l'ordenada a l'origen de la recta tangent
        $k = 9$

Finalment, ja podem concretar l''equació de la recta tangent:
        $\text{r.t.}:\,y=-4\,x+9$

$\square$

[nota del autor]

¿ Cuántos caminos de tres tramos ... ? ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
El graf de la figura 1 representa un conjunt de pobles (nodes del graf) comunicats per carreteres (arestes del graf) de dos sentits (graf no orientat). Fent ús de les propietats de la matriu d'adjacència del graf, resoleu la següent qüestió:

    Quants trajectes (camins) de 3 trams (arestes) permeten anar del node "4" al node "2" ?

Resolució:
La matriu $A$ d'adjacència d'un graf no orientat, de $n$ nodes, és la matriu quadrada, els coeficients $(a_{ij})_{n \times n}$ on ( $i=1,2,\ldots,n$ i $j=1,2,\ldots,n$ ) de la qual prenen els següents valors:
$a_{ij}=\left\{\begin{matrix}1 \;\; \text{si els nodes}\; i \;\text{i} \;j\; \text{estan directament connectats} \\ \;\;\; 0 \;\;\text{si els nodes}\; i \;\text{i} \;j\; \text{no estan directament connectats} \end{matrix}\right.$

Llavors, la matriu d'adjacència del graf és

        $A=\begin{pmatrix} 0&0 &0 &1 &0 \\ 0&0 &1 &0 &1 \\ 0&1 &0 &1 &0 \\ 1&1 &1 &0 &0 \\ 0&1 &0 &0 &0 \end{pmatrix}$

I, d'acord amb la següent propietat:

    La matriu $C(k)$ [que dóna el nombre de camins de $k$ trams (arestes) ( $k=1,2,\ldots $) per anar d'un vèrtex $i$ ( $i=1,2,\ldots,n$ ) a qualsevol altre vèrtex $j$ ( $j=1,2,\ldots,n$ ) ] és igual a la potència $A^k$

podem calcular (fent servir MAXIMA per comoditat i rapidesa en fer el càlcul dels productes de matrius ) que, essent $k=3$, la matriu $C(3)=A^3$ és igual a

        $C(3)=\begin{pmatrix} 0&1 &1 &2 &1 \\ 1&1 &3 &0 &2 \\ 0&3 &1 &3 &1 \\ 2&4 &3 &1 &1 \\ 0&2 &0 &1 &0 \end{pmatrix}$

I, d'aquí, deduïm que el nombre de camins de tres trams (arestes) per anar del node "4" al node "2" és igual a
    $c_{4\,2}=4$

$\blacksquare$

Observació:
Per bé que la matriu d'adjacència $A$ d'un graf no orientat és una matriu simètrica, les matrius $C(k)$, en general, no ho són; és a dir, no es compleix que $c_{i\,j} \ne c_{j\,i} \; \forall i,j \in \{1,2,\ldots,n\} $. Per exemple, $c_{4\,2}$ (que, com acabem de veure, és igual a $4$ ) no és igual al nombre de camins de tres trams $c_{2\,4}$ per anar del vèrtex "2" al vèrtex "4" (que, com es pot llegir a la matriu $C(3)$, és igual a $0$ ).

En l'estudi de les relacions entre un conjunt de persones (aplicació a les xarxes socials), això també es posa de manifest, a primer cop d'ull, d'una manera ben clara (sense fer càlculs, vull dir); canviant "camins" per "lligams de relació" entre dues persones, és evident que si una persona A es relaciona indirectament, de $k$ modes diferents amb una altra persona B, per mitjà de, per exemple, 3 contactes o persones intermediàries ( $k=3$ ), no necessàriament es compleix que B es relaciona amb A, amb el mateix nombre de modes (camins) indirectes ( $k=3$, en aquest cas) que involucrin també a tres persones com a contactes intermedis, atès que cada persona té un grau d'aïllament diferent, en general.

[nota del autor]

Demostrar que si tres vectores ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Demostreu que si tres vectors $\vec{e}_1$, $\vec{e}_2$ i $\vec{e}_3$ de $\mathbb{R}^3$ no estan continguts en el mateix pla ni són paral·lels llavors, de la igualtat
$a\,\vec{e}_1+b\,\vec{e}_2+c\,\vec{e}_2=\vec{0}$ es desprèn que $a=b=c=0$

Solució:
De la igualtat vectorial escrita en components
$a\,(e_{1_{x}}+e_{1_{y}}+e_{1_{z}})+b\,(e_{2_{x}}+e_{2_{y}}+e_{2_{z}})+c\,(e_{3_{x}}+e_{3_{y}}+e_{3_{z}})=(0,0,0)$
en podem escriure les tres equacions escalars següents (igualant component a component)
$\left.\begin{matrix}a\,e_{1_{x}}+b\,e_{2_{x}}+c\,e_{3_{x}}=0\\ \\a\,e_{1_{y}}+b\,e_{2_{y}}+c\,e_{3_{y}}=0\\ \\ a\,e_{1_{z}}+b\,e_{2_{z}}+c\,e_{3_{z}}=0\\ \end{matrix}\right\}$
que formen un sistema d'equacions lineals que, expressat en forma matricial, queda
$\begin{pmatrix} e_{1_{x}}& e_{2_{x}} & e_{3_{x}}\\ e_{1_{y}}& e_{2_{y}} & e_{3_{y}}\\ e_{1_{z}}& e_{2_{z}} & e_{3_{z}}\\\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix}$

El fet que els tres vectors $\vec{e}_1$, $\vec{e}_2$ i $\vec{e}_3$ no estiguin en el mateix pla implica que són linealment independents, d'on deduïm que la matriu $A$ dels coeficients

$\begin{pmatrix} e_{1_{x}}& e_{2_{x}} & e_{3_{x}}\\ e_{1_{y}}& e_{2_{y}} & e_{3_{y}}\\ e_{1_{z}}& e_{2_{z}} & e_{3_{z}}\\\end{pmatrix}$

té rang igual a $3$.

Pel que fa a la matriu ampliada amb els termes independents

$\begin{pmatrix} e_{1_{x}}& e_{2_{x}} & e_{3_{x}} & | & 0\\ e_{1_{y}}& e_{2_{y}} & e_{3_{y}} & | & 0\\ e_{1_{z}}& e_{2_{z}} & e_{3_{z}} & | & 0 \\\end{pmatrix}$

veiem que també té rang igual a $3$, atès de ampliem $A$ amb el vector nul (sistema homogeni)

llavors,
$\text{rang}(A)=\text{rang}(A\,\text{ampliada})=\text{nombre de variables}$

I, pel Teorema de Rouché-Fröbenius, cal concloure que la única solució del sistema d'equacions és la solució trivial

$a=b=c=0$
$\square$

[nota del autor]

Calcular la integral indefinida ( primitiva ) ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Determineu la família de primitives corresponent a la següent integral indefinida:
        $\int \, \tan(x)\,dx$

Resolució:
Podem escriure la integral demanada de la forma
    $\int\, \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}\,dx$
I fent el canvi de variable
    $u=\cos{x}$
        $du=-\sin{x}\,dx$
la integral demanada es pot posar de la forma
    $-\int\, \dfrac{du}{u}$
que és igual a
    $-\ln{(u)}$
i, desfent el canvi de variable, arribem a
    $\int \, \tan(x)\,dx=-\ln{\big( \cos{x}\big)}+C$
on $C$ és la constant d'integració (la constant arbitrària de la família d'aquesta família de primitives).
$\square$

[nota del autor]

Calcular la integral indefinida ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Determineu la família de primitives corresponent a la següent integral indefinida:
        $\int \, \arctan(x)\,dx$

Resolució:
Farem ús aquí del mètode d'integració per parts, que es basa en la següent propietat
    $\int\, u\,dv = u\,v - \int v\,du \quad \quad (1)$
Per això, fem les següents designacions:
    $u=\arctan(x) \; \text{, d'on} \; du=\dfrac{1}{x^2+1}\,dx$
i
    $dv=dx \; \text{, i d'aquí, } \; v=x$

Llavors, d'acord amb (1), escriurem:
    $\int \, \arctan(x)\,dx=x\,\arctan(x)-\int \,\dfrac{x}{x^2+1}\,dx \quad \quad (2)$

Per calcular una primitiva de la funció integrand que apareix al segon terme
        $\int \,\dfrac{x}{x^2+1}\,dx$
farem ús d'un senzill canvi de variable:
        $x^2+1=w \Rightarrow dw=2\,x\,dx$
amb la qual cosa, la integral ens queda expressada de la forma
        $\frac{1}{2}\,\int \,\dfrac{1}{w}\,dw$
que és igual a
        $\frac{1}{2}\,\ln{w}$
i desfent el canvi de variable, queda
        $\frac{1}{2}\,\ln{(x^2+1)}$

I, finalment, posant aquest resultat en (2), arribem a la família de primitives demanada
    $\int \, \arctan(x)\,dx=x\,\arctan(x)-\frac{1}{2}\,\ln{(x^2+1)}+C$
on $C$ és la constant arbitrària.
$\square$

[nota del autor]