Calcular la integral indefinida ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Determineu la família de primitives corresponent a la següent integral indefinida:
        $\int \, \arctan(x)\,dx$

Resolució:
Farem ús aquí del mètode d'integració per parts, que es basa en la següent propietat
    $\int\, u\,dv = u\,v - \int v\,du \quad \quad (1)$
Per això, fem les següents designacions:
    $u=\arctan(x) \; \text{, d'on} \; du=\dfrac{1}{x^2+1}\,dx$
i
    $dv=dx \; \text{, i d'aquí, } \; v=x$

Llavors, d'acord amb (1), escriurem:
    $\int \, \arctan(x)\,dx=x\,\arctan(x)-\int \,\dfrac{x}{x^2+1}\,dx \quad \quad (2)$

Per calcular una primitiva de la funció integrand que apareix al segon terme
        $\int \,\dfrac{x}{x^2+1}\,dx$
farem ús d'un senzill canvi de variable:
        $x^2+1=w \Rightarrow dw=2\,x\,dx$
amb la qual cosa, la integral ens queda expressada de la forma
        $\frac{1}{2}\,\int \,\dfrac{1}{w}\,dw$
que és igual a
        $\frac{1}{2}\,\ln{w}$
i desfent el canvi de variable, queda
        $\frac{1}{2}\,\ln{(x^2+1)}$

I, finalment, posant aquest resultat en (2), arribem a la família de primitives demanada
    $\int \, \arctan(x)\,dx=x\,\arctan(x)-\frac{1}{2}\,\ln{(x^2+1)}+C$
on $C$ és la constant arbitrària.
$\square$

[nota del autor]