Demostrar que si tres vectores ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Demostreu que si tres vectors $\vec{e}_1$, $\vec{e}_2$ i $\vec{e}_3$ de $\mathbb{R}^3$ no estan continguts en el mateix pla ni són paral·lels llavors, de la igualtat
$a\,\vec{e}_1+b\,\vec{e}_2+c\,\vec{e}_2=\vec{0}$ es desprèn que $a=b=c=0$

Solució:
De la igualtat vectorial escrita en components
$a\,(e_{1_{x}}+e_{1_{y}}+e_{1_{z}})+b\,(e_{2_{x}}+e_{2_{y}}+e_{2_{z}})+c\,(e_{3_{x}}+e_{3_{y}}+e_{3_{z}})=(0,0,0)$
en podem escriure les tres equacions escalars següents (igualant component a component)
$\left.\begin{matrix}a\,e_{1_{x}}+b\,e_{2_{x}}+c\,e_{3_{x}}=0\\ \\a\,e_{1_{y}}+b\,e_{2_{y}}+c\,e_{3_{y}}=0\\ \\ a\,e_{1_{z}}+b\,e_{2_{z}}+c\,e_{3_{z}}=0\\ \end{matrix}\right\}$
que formen un sistema d'equacions lineals que, expressat en forma matricial, queda
$\begin{pmatrix} e_{1_{x}}& e_{2_{x}} & e_{3_{x}}\\ e_{1_{y}}& e_{2_{y}} & e_{3_{y}}\\ e_{1_{z}}& e_{2_{z}} & e_{3_{z}}\\\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix}$

El fet que els tres vectors $\vec{e}_1$, $\vec{e}_2$ i $\vec{e}_3$ no estiguin en el mateix pla implica que són linealment independents, d'on deduïm que la matriu $A$ dels coeficients

$\begin{pmatrix} e_{1_{x}}& e_{2_{x}} & e_{3_{x}}\\ e_{1_{y}}& e_{2_{y}} & e_{3_{y}}\\ e_{1_{z}}& e_{2_{z}} & e_{3_{z}}\\\end{pmatrix}$

té rang igual a $3$.

Pel que fa a la matriu ampliada amb els termes independents

$\begin{pmatrix} e_{1_{x}}& e_{2_{x}} & e_{3_{x}} & | & 0\\ e_{1_{y}}& e_{2_{y}} & e_{3_{y}} & | & 0\\ e_{1_{z}}& e_{2_{z}} & e_{3_{z}} & | & 0 \\\end{pmatrix}$

veiem que també té rang igual a $3$, atès de ampliem $A$ amb el vector nul (sistema homogeni)

llavors,
$\text{rang}(A)=\text{rang}(A\,\text{ampliada})=\text{nombre de variables}$

I, pel Teorema de Rouché-Fröbenius, cal concloure que la única solució del sistema d'equacions és la solució trivial

$a=b=c=0$
$\square$

[nota del autor]