Geometría analítica

ENUNCIADO.
a) Determinar la distancia entre las rectas $r_1:x=y=z$ y $r_2:\left\{\begin{matrix}x+y-1=0\\ x-z+1=0\end{matrix}\right.$
b) Obténgase el punto de corte de la recta $s:x=2-y=z-1$ con el plano perpendicular a $s$ que pasa por el origen de coordenadas

SOLUCIÓN.
a)
En primer lugar vamos a estudiar la incidencia entre $r_1$ y $r_2$.

Un vector director de $r_1$ es $\vec{u}_1=(1,1,1)$

Encontremos ahora un vector director de $r_2$. De las ecuaciones implícitas de la recta podemos escribir la misma en forma paramétrica de la forma $\left\{\begin{matrix}x&=&-\lambda+2 \\ y&=&\lambda-1 \\ z&=&\lambda \end{matrix}\right.$ y despejando el parámetro $\lambda$ de cada una de ellas, $\left\{\begin{matrix}\lambda&=&\dfrac{x-2}{-1}\\ \lambda&=&y+1 \\ \lambda&=&z \end{matrix}\right.$ por lo que la ecuación en forma continua es $\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y-(-1)}{1}=\dfrac{z}{1}$ y de ello deducimos que un vector director de $r_2$ es $\vec{u}_2=(-1,1,1)$

A continuación necesitamos conocer un punto de cada una de las dos rectas, que denotaremos por $P_{r_1}$ y $P_{r_2}$ para construir un vector que apunte de uno a otro ( de una recta a la otra ): $\vec{P_{r_1}P_{r_2}}$, ya que: i) si $\text{rango}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}\}=3$ las rectas se cruzan pero no se cortan, con lo cual la distancia pedida será distinta de cero, y, ii) en caso de que $\text{rango}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}\}=2$ y $\text{rango}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}=1$, las rectas son paralelas y distintas, con lo cual la distancia entre estas también es distinta de cero.

Es evidente que un punto de $r_1$ es $P_{r_1}=(0,0,0)$. Por otra parte, fijando el parámetro $\lambda$ ( pongamos que $\lambda:=0$ ) en las ecuaciones paramétricas de $r_2$, encontramos un punto de la misma, $P_{r_2}=(2,-1,0)$. Hecho esto, $\vec{P_{r_1}P_{r_2}}=(2-0,-1-0,0-0)=(2,-1,0)$

Como $\begin{vmatrix}1&1&1\\-1&1&1\\2&-1&0\end{vmatrix}=2\neq 0$, deducimos de ello que $\text{rango}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}\}=3$ y por tanto $r_1$ y $r_2$ se cruzan pero no se cortan, con lo cual la distancia pedida es distinta de cero.

Para calcular la distancia $d(r_1,r_2)$, tendremos en cuenta que los vectores $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}\}$ forman un paralelepípedo de volumen igual al valor absoluto del producto mixto de los tres $\left|[\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}]\right|$, pero ese mismo volumen puede calcularse también mediante $d(r_1,r_2)\cdot \left\|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2\right\|$ luego $$d(r_1,r_2)=\dfrac{\left|[\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}]\right|}{\left\|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2\right\|} \quad \quad (1)$$
donde
$$\left|[\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}]\right|=2$$ ya que $$\begin{vmatrix}1&1&1\\-1&1&1\\2&-1&0\end{vmatrix}=2$$
Por otra parte $$\vec{u}_1 \times \vec{u}_2=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&1&1\\-1&1&1\end{vmatrix}=2\,\vec{k}=(0,-2,2)$$ luego $\left\|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2\right\|=2\,|\sqrt{2}|$. Y, finalmente, sustituyendo en (1) llegamos a $$d(r_1,r_2)=\dfrac{2}{2\,|\sqrt{2}|}=\dfrac{|\sqrt{2}|}{2}$$

b)
La recta $s$ puede expresarse de la forma ( continua ) $s:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-1}{1} \quad \quad (2)$, luego un vector director de la recta es $\vec{u}_s=(1,-1,1)$, que a su vez es un vector perpendicular al plano $\pi$ ( perpendicular a $s$ ); entonces, como la ecuación general de un plano es $Ax+By+Cz+D=0$ y $A=1$, $B=-1$ y $C=1$, podemos escribir $\pi:x-y+z+D=0 \quad \quad (3) $. Y como sabemos que $O(0,0,0)$ es un punto de $\pi$, deducimos ( sustituyendo las coordenadas de $O$ en la ecuación (3) ) que $D=0$, con lo cual vemos que la ecuación del plano pedido es $$\pi:x-y+z=0$$

La ecuación de la recta (2) también podemos expresarla en forma implícita (como la intersección de dos planos): $$s:\left\{\begin{matrix}x=2-y\\x=z-1\end{matrix}\right.$$ que junto con la ecuación del plano $\pi:x-y+z=0$ nos lleva al sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&0 \\ x&+&y&&&=&2 \\ x&&&-&z&=&-1\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&0 \\ &&2y&-&z&=&2 \\ &&y&-&2z&=&-1\end{matrix}\right.\sim$$
$$\sim \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&0 \\ &&2y&-&z&=&2 \\ &&&&3z&=&4\end{matrix}\right.$$ con lo cual, despejando de la última ecuación, $z=\dfrac{4}{3}$; sustituyendo en la segunda, $y=\dfrac{5}{3}$; y, sustituyendo estos dos valores en la primera ecuación, $x=\dfrac{1}{3}$. Así pues el punto de corte viene dado por $( \dfrac{1}{3}\,,\,\dfrac{5}{3}\,,\,\dfrac{4}{3})$

$\square$

Dado el plano (...)

ENUNCIADO. Dado el plano $\pi \equiv 3x+3y+z-9=0$, se pide:
a) Determinar la ecuación del plano perpendicular a $\pi$ que contiene al eje $Ox$
b) Determinar el punto del plano $\pi$ más cercano al origen de coordenadas

SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $\pi'$ al plano pedido. Éste ha de ser uno de los planos del haz de planos cuya intersección es la recta $Ox \equiv \left\{\begin{matrix}y=0 \\ z=0\end{matrix}\right.$.

Los planos $y=0$ y $z=0$ ( cuya intersección es el eje $Ox$ ) forman parte de dicho haz de planos, luego la ecuación del mismo es $\mathcal{H} \equiv y+\mu z =0 \,,\,\mu \in \mathbb{R}$, luego los vectores característicos de los planos del haz tienen componentes $(0,1,\mu)$

Por otro lado, de la ecuación general del $\pi$ vemos que un vector característico de $\pi$ es $\vec{n}_{\pi}=(3,3,1)$

Como $\pi'$ y $\pi$ son perpendiculares, también lo son los vectores característicos de sendos planos, $\vec{n}_{\pi}$ y $\vec{n}_{\pi'}$, luego el producto escalar de éstos ha de ser igual a $0$ $$\langle \vec{n}_{\pi},\vec{n}_{\pi'}\rangle =0$$ con lo cual $$\langle (3,3,1,),(0,1,\mu)\rangle =0 \Leftrightarrow 3\cdot 0+3\cdot 1+1\cdot \mu=0 \Leftrightarrow \mu=-3$$ Así que el vector característico de $\pi'$ es $\vec{n}_{\pi'}=(0,1,-3)$, por consiguiente la ecuación general de $\pi'$ es $0\cdot x+y-3\,z+D=0 \quad \quad (1)$

Nos falta aún determinar el valor del coeficiente $D$. Para ello hemos de tener en cuenta que el punto $O(0,0,0)$ está en $\pi'$ ( por estar también en el eje $Ox$ ), por lo que sus coordenadas han de satisfacer la ecuación de $\pi'$, $$0\cdot 0+0-3\cdot 0+D=0 \Leftrightarrow D=0$$ Por tanto, sustituyendo el valor de $D$ que acabamos de encontrar en (1), llegamos a $$\pi'\equiv y-3x=0$$

b)
Por la noción de mínima distancia en el espacio euclídeo, el punto pedido $P$ ha de estar sobre la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por el origen de coordenadas $O(0,0,0)$. A esta recta la llamaremos $r$.

Determinaremos, primero, la ecuación de $r$. Finalmente, calcularemos las coordenadas del punto de intersección de $r$ y $\pi$, que no es otro que el punto pedido $P$.

De la ecuación general de $\pi$ vemos que un vector característico del mismo ( un vector perpendicular a $\pi$ ) es $\vec{n}_{\pi}=(3,3,1)$. Como $r$ es perpendicular a $\pi$, un vector en la dirección de $r$ es el propio vector vector característico de $\pi$, de componentes $(3,3,1)$. Así que la ecuación de la recta $r$ ( que pasa por el origen de coordenadas ) podemos expresarla de la siguiente forma, $$r\equiv (x-0,y-0,z-0)=k\,(3,3,1)\,;\,k \in \mathbb{R}$$ y por tanto también de forma paramétrica $$r\equiv \left\{\begin{matrix}x=3k \\ y=3k\\z=k\end{matrix}\right.$$ Despejando el parámetro, $$\left\{\begin{matrix}k=x/3 \\ k=y/3\\k=z\end{matrix}\right.$$ de donde escribimos las ecuaciones implícitas (cartesianas) de $r$ $$r\equiv \left\{\begin{matrix}x-y=0 \\ y-3z=0\end{matrix}\right.$$

Ahora determinaremos las coordenadas del punto $P$ ( intersección de $r$ y $\pi$ ); para ello, resolveremos el sistema de ecuaciones formado por la ecuación general del plano $\pi$ y por las dos ecuaciones cartesianas de $r$: $$\left\{\begin{matrix}3x&+&3y&+&z&=&9 \\ x&-&y&&&=&0\\ x&&&-&3z&=&0\end{matrix}\right.$$
Un sistema equivalente, reducido por Gauss, es $$\left\{\begin{matrix}3x&+&3y&+&z&=&9 \\ &&6y&+&z&=&9\\ &&&&19z&=&9\end{matrix}\right.$$ Despejando la variable $z$ de la última ecuación, obtenemos $$z=\dfrac{9}{19}$$ sustituyendo este valor en la segunda ecuación obtenemos $$y=\dfrac{27}{19}$$ y, a su vez, sustituyendo el valor de las dos últimas incógnitas en la primera ecuación y despejando $x$ se obtiene $$x=\dfrac{27}{19}$$
$\square$

Sea $\pi$ el plano que contiene a los puntos (...)

ENUNCIADO. Sea $\pi$ el plano que contiene a los puntos $A(0,2,1)$, $B(1,0,1)$ y $C(-1,-2,-1)$. Calcule el volumen del tetraedro que forma el origen de coordenadas con los puntos de intersección de $\pi$ con cada uno de los ejes de coordenadas.

SOLUCIÓN.
Para calcular las coordenadas de los puntos de intersección del plano $\pi$ con los ejes de coordenadas, debemos encontrar primero la ecuación del plano. Dos vectores del plano son $$\overset{\longrightarrow}{AB}=(1-0,0-2,1-1)=(1,-2,0)$$ y $$\overset{\longrightarrow}{AC}=(-1-0,-2-2,-1-1)=(-1,-4,-2)$$ Entonces un vector perpendicular a $\pi$ ( y por tanto, característico de dicho plano ) es $$\vec{n}= \overset{\longrightarrow}{AB} \times \overset{\longrightarrow}{AC}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 0 \\ -1 & -4 & -2\end{vmatrix}=(4,2,-6) \propto (2,1,-3)$$ Así que la ecuación de la familia de planos paralelos a dicho plano $\pi$ es $$\mathcal{F}\equiv 2x+y-3z+D=0 \quad \quad (1)$$ Para determinar la ecuación de $\pi$ tendremos en cuenta algún punto que esté en dicho plano, por ejemplo, $B(1,0,1)$; sus coordenadas han de satisfacer la ecuación (1) y, por tanto, deduciremos el valor de $D$; así deberá cumplirse que $$2\cdot 1 + 0 - 3 \cdot 1+D=0 \Leftrightarrow D=1$$ con lo cual, sustituyendo en (1) vemos que la ecuación del plano es $$\pi \equiv 2x+y-3z+1=0$$

A continuación vamos a proyectar dicho plano sobre dos ( con dos bastará para determinar los tres puntos de intersección con los ejes ) de los planos del sistema de coordenadas, pongamos que con $Oyz \equiv x=0$ y $Oxz\equiv y=0$.

Proyectando $\pi$ sobre $Oyz$ ( imponiendo que $x=0$ ) obtenemos la recta y-3z+1=0, que corta al eje $Oz$ en $z=1/3$ y al eje $Oy$ en $y=-1$, luego obtenemos de ésto los puntos de corte $A(0,0,1/3)$ y $B(0,-1,0)$

Vamos a obtener ahora el punto de corte con el eje $Ox$. Al proyectar $\pi$ sobre $Oxz$ ( imponiendo que $y=0$ ) obtenemos la recta 2x-3z+1=0, que corta al eje $Ox$ en $x=-1/2$ ( y al eje $Oz$ en $z=1/3$, lo cual ya hemos deducido antes ), luego obtenemos así el tercer punto de corte $C(-1/2,0,0)$

Ahora ya conocemos los puntos que corresponden a los vértices del tetraedro: $O(0,0,0)$, $A(0,0,1/3)$, $B(0,-1,0)$ y $C(-1/2,0,0)$ y, con ellos podemos ya calcular el volumen del mismo, que es igual a $$\dfrac{1}{3}\cdot \text{área de la base} \cdot \text{altura} \quad \quad (2)$$

Para hacer este cálculo vamos a emplear los vectores $\overset{\longrightarrow}{OA}=(0,0,1/3)$, $\overset{\longrightarrow}{OB}=(0,-1,0)$ y $\overset{\longrightarrow}{OC}=(-1/2,0,0)$, pues el $$\text{área de la base}=\dfrac{\left\|\overset{\longrightarrow}{OA} \times \overset{\longrightarrow}{OB}\right\|}{2} \quad \quad (3)$$ y la altura se calcula de la forma $$\text{altura}=\dfrac{\left|\langle \overset{\longrightarrow}{OC}, \overset{\longrightarrow}{OA} \times \overset{\longrightarrow}{OB} \rangle \right|}{\left\|\overset{\longrightarrow}{OA} \times \overset{\longrightarrow}{OB}\right\|} \quad \quad (4)$$
donde $\langle .,.\rangle\rangle$ denota el producto escalar y $\times$ el producto vectorial

Poniendo ahora (3) y (4) en (2) y simplificando obtenemos que el volumen es igual al valor absoluto de
$\dfrac{1}{6}\,\left| \langle \overset{\longrightarrow}{OC}, \overset{\longrightarrow}{OA} \times \overset{\longrightarrow}{OB} \rangle \right|=\dfrac{1}{6}\,\begin{vmatrix} OC_x & OC_y & OC_z \\ OA_x & OA_y & OA_z \\ OB_x & OB_y & OB_z \end{vmatrix}=\dfrac{1}{6}\,\begin{vmatrix} -1/2 & 0& 0 \\ 0 & 0& 1/3 \\ 0 & -1& 0 \end{vmatrix}$
$=\dfrac{1}{6}\cdot (-\dfrac{1}{6})=-\dfrac{1}{36}$
luego el volumen pedido es igual a $$\left| -\dfrac{1}{36}\right|=\dfrac{1}{36}\; (\text{unidades de longitud })^3$$
$\square$

Demostrar que si tres vectores ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Demostreu que si tres vectors $\vec{e}_1$, $\vec{e}_2$ i $\vec{e}_3$ de $\mathbb{R}^3$ no estan continguts en el mateix pla ni són paral·lels llavors, de la igualtat
$a\,\vec{e}_1+b\,\vec{e}_2+c\,\vec{e}_2=\vec{0}$ es desprèn que $a=b=c=0$

Solució:
De la igualtat vectorial escrita en components
$a\,(e_{1_{x}}+e_{1_{y}}+e_{1_{z}})+b\,(e_{2_{x}}+e_{2_{y}}+e_{2_{z}})+c\,(e_{3_{x}}+e_{3_{y}}+e_{3_{z}})=(0,0,0)$
en podem escriure les tres equacions escalars següents (igualant component a component)
$\left.\begin{matrix}a\,e_{1_{x}}+b\,e_{2_{x}}+c\,e_{3_{x}}=0\\ \\a\,e_{1_{y}}+b\,e_{2_{y}}+c\,e_{3_{y}}=0\\ \\ a\,e_{1_{z}}+b\,e_{2_{z}}+c\,e_{3_{z}}=0\\ \end{matrix}\right\}$
que formen un sistema d'equacions lineals que, expressat en forma matricial, queda
$\begin{pmatrix} e_{1_{x}}& e_{2_{x}} & e_{3_{x}}\\ e_{1_{y}}& e_{2_{y}} & e_{3_{y}}\\ e_{1_{z}}& e_{2_{z}} & e_{3_{z}}\\\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix}$

El fet que els tres vectors $\vec{e}_1$, $\vec{e}_2$ i $\vec{e}_3$ no estiguin en el mateix pla implica que són linealment independents, d'on deduïm que la matriu $A$ dels coeficients

$\begin{pmatrix} e_{1_{x}}& e_{2_{x}} & e_{3_{x}}\\ e_{1_{y}}& e_{2_{y}} & e_{3_{y}}\\ e_{1_{z}}& e_{2_{z}} & e_{3_{z}}\\\end{pmatrix}$

té rang igual a $3$.

Pel que fa a la matriu ampliada amb els termes independents

$\begin{pmatrix} e_{1_{x}}& e_{2_{x}} & e_{3_{x}} & | & 0\\ e_{1_{y}}& e_{2_{y}} & e_{3_{y}} & | & 0\\ e_{1_{z}}& e_{2_{z}} & e_{3_{z}} & | & 0 \\\end{pmatrix}$

veiem que també té rang igual a $3$, atès de ampliem $A$ amb el vector nul (sistema homogeni)

llavors,
$\text{rang}(A)=\text{rang}(A\,\text{ampliada})=\text{nombre de variables}$

I, pel Teorema de Rouché-Fröbenius, cal concloure que la única solució del sistema d'equacions és la solució trivial

$a=b=c=0$
$\square$

[nota del autor]

Describir el conjunto de puntos de la recta de $\mathbb{R}^3$ que tiene la dirección del vector ...

ENUNCIADO:
Describir el conjunto de puntos de la recta de $\mathbb{R}^3$ que tiene la dirección deL vector $\vec{j}=(0,1,0)$, sabiendo además que pasa por el punto $Q(-1,-1,-1)$.

SOLUCIÓN:
Según la ecuación vectorial ( punto-vector ) de la recta, un punto cualquiera de la misma $P(x,y,z)$, viene dado por
$r:\,(x,y,z)=(-1,-1,-1)+\lambda\,(0,1,0)$, es decir la recta $r$ es el siguiente conjunto ( infinito ) de puntos: $$r:\,\lbrace(-1,\lambda-1,-1):\lambda \in \mathbb{R}\rbrace$$ $\square$

[nota del autor]

Sean las siguientes rectas de $\mathbb{R}^3$ ...

ENUNCIADO:
Sean las siguientes rectas de $\mathbb{R}^3$:
$r:\left\{\begin{matrix}
x &= &\lambda \\
y &= &-\lambda+1 \\
x &= &1 \\
\end{matrix}\right.$ y $s:\left\{\begin{matrix}
x &= &\mu+1 \\
y &= &\mu \\
x &= &0 \\
\end{matrix}\right.$
¿ Se intersecan ?

SOLUCIÓN:
Los vectores de posición de los puntos que pertencen a $r$ son de la forma $(\lambda\,,\,-\lambda+1\,,\,1)\; \forall \lambda \in \mathbb{R}$ y los vectores de los puntos de posición que están sobre $s$ son $(\mu+1\,,\,\mu\,,\,0)\; \forall \mu \in \mathbb{R}$. Supongamos que haya puntos de intersección de ambas rectos, entonces deberá cumplirse que $(\lambda\,,\,-\lambda+1\,,\,1)=(\mu+1\,,\,\mu\,,\,0)$ y por tanto el siguiente sistema de ecuaciones debe ser compatible,
$\left\{\begin{matrix}
\lambda &=&\mu+1 \\
-\lambda+1 &=&\mu&\\
1&=&0
\end{matrix}\right.$
ahora bien, de la última ecuación ( absurdo ) concluimos que es incompatible ( no existe solución ), luego debemos concluir que las rectas $r$ y $s$ no se intersecan. $\square$

[nota del autor]