Calcular la integral indefinida de la siguiente función racional ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu
    $\displaystyle \int{\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx}$

Solució:
La funció integrand $f(x)$ és una funció racional impròpia.
Efectuant la divisió $(x^3+x-1) \div (x^2-1)$
trobem que el polinomi quocient és igual a $x$, i el polinomi residu és $2\,x+1$
i, doncs, pel teorema de la divisió, podem escriure
    $\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}=x+\dfrac{2\,x+1}{x^2-1}$
Llavors, podem escriure la integral de la forma
    $\displaystyle \int{\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx}=\int{\bigg( x + \dfrac{2\,x+1}{x^2-1}\bigg)\,dx}$
            $= \displaystyle \int{ x \,dx}+\int{ \dfrac{2\,x}{x^2-1}\,dx}+\int{ \dfrac{1}{x^2-1}\,dx}$
i tenint en compte que podem factoritzar el polinomi del denominador de la funció integrand del tercer terme: $x^2-1=(x-1)\,(x+1)$
escriurem
                $\dfrac{1}{x^2-1}$
com la suma de dues fraccions algebraiques
                $\dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x+1}$
Per tant ( i recopilant ), la integral donada
    $\displaystyle \int{\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx}$
és igual a la següent suma d'integrals ( més senzilles ):
    $\displaystyle \int{ x \,dx}+\int{ \dfrac{2\,x}{x^2-1}\,dx}+\int{ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x-1}\,dx}-\int{ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x+1}\,dx}$
que, integrades, i sumades, menen a
    $\displaystyle \dfrac{1}{2}\,x^2+\ln{\left|x^2-1\right|}+\dfrac{1}{2}\,\ln{\left|x-1\right|}-\dfrac{1}{2}\,\ln{\left|x+1\right|}+C$
        $=\displaystyle \dfrac{1}{2}\,x^2+\ln{\left|x^2-1\right|}+\dfrac{1}{2}\,\ln{\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|}+C$
on $C$, per ser la constant d'integració, és qualsevol nombre real.
$\square$

[nota del autor]

Demostrar la siguiente propiedad ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Designem amb $n$ el cardinal d'un conjunt finit $A$ (nombre d'elements del conjunt). Demostreu la següent propietat:
    $n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$

Ajuts:

  a) Feu servir les definicions dels conjunts: $\bar{A}$, complementari absolut de $A$; i $\bar{A_{B}}$, complementari de $A$ relatiu a $B$, éssent $A \subseteq U$ i $B \subseteq U$ (on $U$ designa el conjunt universal ). Per tant,
    $\bar{A_{U}}=\{x \in U : x \notin A\}$
    $\bar{A_{B}}=\{x \in A : x \notin B\}$

  b) Feu servir la següent propietat (que considerarem trivial):
    Si $A \cap B = \varnothing$, llavors
    $n(A \cup B) = n(A)+n(B)$

Solució:
Considerant el fet que
    $\bar{A_{B}} \cap B = \varnothing$
podem escriure la unió de $A$ i $B$ de la forma
    $A \cup B = \bar{A_{B}} \cup B$
i per la propietat (b)
    $n(A \cup B) = n\big(\bar{A_{B}}\big) + n(B) \quad \quad (1)$
Tenint en compte, ara, que
    $A=\bar{A_{B}} \cup (A \cap B)$
i que
    $\bar{A_{B}} \cap (A \cap B) = \varnothing$
emprant, altra vegada la propietat (b), escriurem
    $n(A)=n(\bar{A_{B}}) + n(A \cap B)$
i, per tant,
    $n(\bar{A_{B}})=n(A) - n(A \cap B)$
que substituït en (1) permet arribar a la igualtat que volíem demostrar
    $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
$\square$

Observació:   Per inducció es poden demostrar altres propietats que es desprenen d'aquesta que acabem de demostrar, tot generalitzant-la, per exemple:
    $n(A \cup B \cup C) = \ldots $
        $= n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$
Totes aquestes propietats són molt útils per al càlcul de probabilitats.

[nota del autor]

Demostrar ( formalmente ) que el valor del límite es ...

ENUNCIADO: ´
Demostrar que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}\,x^2=4$, mediante el procedimiento de $\varepsilon$ y $\delta$.

SOLUCIÓN:
Hay que demostrar que dado $\varepsilon \prec 0$, existe $\delta \prec 0$ tal que $\left|x^2-4\right|\prec \varepsilon$ para $\left|x^2-4\right|\prec \delta$.
Entonces, como $\left|x-2\right| \prec \delta$, podemos escribir
$-\delta \prec x-2 \prec \delta $
$\Leftrightarrow -\delta + 2 \prec x-2+2 \prec \delta +2 $
  $\Leftrightarrow -\delta+2 \prec x \prec \delta+2 $
    $\Leftrightarrow (-\delta+2)^2 \prec x^2 \prec (\delta+2)^2 $
      $\Leftrightarrow \delta^2-4\delta+4 \prec x^2 \prec \delta^2+4\delta+4 $
        $\Leftrightarrow \delta^2-4\delta+4-4 \prec x^2-4 \prec \delta^2+4\delta+4-4$
          $\Leftrightarrow \delta^2-4\delta \prec x^2-4 \prec \delta^2+4\delta$     (1)

Ahora bien, si $\delta \prec 1$, $\delta^2 \prec \delta$, luego $\delta^2+4\delta \prec \delta + 4\delta =5\delta$; y $\delta^2-4\delta \succ -\delta^2-4\delta \succ -\delta - 4\delta=5\delta$.

Así, de (1), podemos escribir: $-5\delta \prec x^2-4 \prec 5\delta$. Y, tomando, $\delta:=\dfrac{\varepsilon}{5}$, llegamos a $-\varepsilon \prec x^2-4 \prec \varepsilon$; esto es, $\left|x^2-4\right|\prec \varepsilon$. $\square$

[nota del autor]

Ejemplo de demostración por el método de inducción. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Demostreu, per inducció, la següent propietat:
    $2+4+6+\ldots+2n=n\,(n+1)$     ( $n \in \mathbb{N}$ ).

Solució:
Seguint els tres passos del mètode de demostració per inducció tenim. Aquests passos són els següents:

  i) És evident que la propietat és certa per a $n=1$, és a dir, es compleix $\mathcal{P}_1$

  ii) Suposem, ara, que la propietat $\mathcal{P}_n$ és certa ( suposem que és certa la proposició donada, és a dir, la igualtat donada a l'enunciat )

  iii) Provarem, a continuació, que la propietat també és certa per a $n+1$, és a dir, provarem que es compleix $\mathcal{P}_{n+1}$. Fet això, d'acord amb el principi dit d'inducció, quedarà demostrada la proposició $\mathcal{P}$ per a qualsevol valor de $n$. Partint, doncs, de l'expressió del primer membre de la igualtat donada (   $\mathcal{P}_n$   ) , sumem el terme $2\,(n+1)$ al primer membre (sumem el nombre parell consecutiu al darrer terme), obtenint
  $\big(2+4+6+\ldots+2n\big)+2\,(n+1)$
que, segons $\mathcal{P}_n$, és igual a $n\,(n+1)+2\,(n+1)$
expressió que és igual a $n^2+3\,n+2$
i, factoritzada, queda
$(n+1)\,(n+2)$
per tant es reprodueix la mateixa estructura de l'expressió del 2n membre per a $n+1$; en efecte, per veure-ho ben clar, tan sols cal substituir $n$ per $n+1$ a l'expressió del segon membre, verificant la reproducció de l'estructura de l'expressió. Llavors, queda provada $\mathcal{P}$.
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de demostración por el método de inducción. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Demostreu, per inducció, la següent propietat:
    $1+4+7+\ldots+(3\,n-2)=\dfrac{1}{2}\,n\,(3\,n-1) \quad \quad \text{on} \quad n \in \mathbb{N}$

Solució:
Seguint els tres passos del mètode de demostració per inducció tenim. Aquests passos són els següents:

  i) És evident que la propietat és certa per a $n=1$, és a dir, es compleix $\mathcal{P}_1$

  ii) Suposem, ara, que la propietat $\mathcal{P}_n$ és certa ( suposem que és certa la proposició donada, és a dir, la igualtat donada a l'enunciat )

  iii) Provarem, a continuació, que la propietat també és certa per a $n+1$, és a dir, provarem que es compleix $\mathcal{P}_{n+1}$. Fet això, d'acord amb el principi dit d'inducció, quedarà demostrada la proposició $\mathcal{P}$ per a qualsevol valor de $n$. Partint, doncs, de l'expressió del primer membre de la igualtat donada (   $\mathcal{P}_n$   ) , sumem el terme $3\,(n+1)-2$ al primer membre (sumem el valor del terme consecutiu de la successió aritmètica de diferència igual a $3$), obtenint
  $\bigg(1+4+7+\ldots+\big(3\,n-2\big)\bigg)+\big((3\,(n+1)-2\big)$
i, segons $\mathcal{P}_n$, és igual a
$\dfrac{1}{2}\,\bigg(\,n\,(3\,n-1)+2\,\big((3\,(n+1)-2\big)\bigg)$
expressió que és igual a
$\dfrac{1}{2}\,\big(3\,n^2+5\,n+2\big)$
i, factoritzada, queda
$\dfrac{1}{2}\,(n+1)\,(3\,n+2)$
on reconeixem la reproducció de l'estructura de la propietat $\mathcal{P}$ per a $n+1$
$\dfrac{1}{2}\,(n+1)\,(3\,(n+1)-1)$
i, doncs, queda provada $\mathcal{P}$.
$\square$

[nota del autor]

Considérese una recta ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu una recta $r$ de $\mathbb{R}^3$ (espai vectorial afí) que ve donada per la intersecció del següent parell de plans:
    $r:\,\,\left\{\begin{matrix}\pi_1:\;\; x+y+z-1=0\\\\\pi_2:\;\;x+2y+3z+5=0\end{matrix}\right.$
Justifiqueu que la dimensió del subespai vectorial associat a la recta és $1$ i determineu un vector que faci de base d'aquest subespai vectorial.

Solució:
Abans de fer càlculs, cal que ens adonem que, a l'espai afí, si els plans no són paral·lels o coincidents, que no es el cas, la seva intersecció és una recta, per tant la dimensió de la recta, com a subespai de l'espai vectorial afí $\mathbb{R}^3$, ha de ser igual a $1$ perquè, vist des d'un punt de vista físic, damunt d'aquesta tan sols hi ha un grau de llibertat. Dit això, anem a donar una justificació més formal:

Reduint el sistema per Gauss-Jordan veiem que es compatible indeterminat, amb dues de les seves variables depenent d'un sol paràmetre (la tercera variable), per a la qual escollirem, per exemple, $z$, donant-li així el paper de paràmetre; l'anomenem $\lambda$.

Llavors,
    $r:\,\,\left\{\begin{matrix} x&\,&\,&\;\;&=&-4-5\lambda\\\\&\,&\,&y&=&4\lambda+5\end{matrix}\right.$
D'on es fa palès que el rang del sistema d'equacions es $r=2$ y, per tant, la dimensió del subespai vectorial associat a la recta és igual a $n-r=3-2=1$, tal i com volíem demostrar.
Del sistema reduït obtenim les equacions de la recta en funció del paràmetre $\lambda$:
    $r:\,\,\left\{\begin{matrix} \dfrac{x+4}{-5}=\lambda\\\\\dfrac{y-5}{4}=\lambda\\\\ z=\lambda\end{matrix}\right.$
Escrivint, ara, l'equació de la recta en forma contínua arribem a
    $\dfrac{x-(-4)}{-5}=\dfrac{y-5}{4}=\dfrac{z-0}{1}$
d'on, dels denominadors, trobem que un vector director de $r$ es $(-5,4,1)$, que podem prendre com a base del subespai vectorial que representa la recta $r$: tot vector damunt d'aquesta recta és proporcional $(-5,4,1)$, és a dir, es combinació lineal d'aquest, i per tant una base de l'espai vectorial associat a la recta és $\mathcal{B}_r=\{(-5,4,1)\}$
$\square$

[nota del autor]

Determinar la ecuación del plano tal que ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu l'espai afí $(\mathbb{R}^3, O, \mathcal{B})$ on:
    $\mathbb{R}^3$ és l'espai vectorial estàndard sobre el cos $\mathbb{R}$
    L'origen de coordenades $O$ el prenem en el punt de coordenades $(0,0,0)$
    La base $\mathcal{B}$ escollida de l'espai vectorial $\mathbb{R}^3$ està formada pels vectors
            $\{e_1=1,0,0,e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1)\}$
                ( que es la base estàndard o canònica).
Determineu l'equació implícita (o e. general) del pla que passa pels punts $P(1,0,0)$, $Q(0,1,0)$ i $R(0,0,1)$


  Comentari:   Les projeccions d'aquest pla sobre els plans $Oxy$, $Oxz$ i $Oyz$, són rectes que formen angles de 45º amb els eixos respectius.

Solució:
L'equació implícita del pla
    $A\,x+B\,y+C\,z+D=0$
que passa per tres punts donats
    $P(x_P,y_P,z_P)$, $Q(x_Q,y_Q,z_Q)$ i $R(x_R,y_R,z_R)$
ve donada per
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ x_P&y_P &z_P &1 \\ x_Q&y_Q &z_Q &1 \\ x_R&y_R &z_R &1 \end{vmatrix}=0$
que, amb les dades donades, es concreta així
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ 1&0 &0 &1 \\ 0&1 &0 &1 \\ 0&0 &1 &1 \end{vmatrix}=0$
Per calcular el determinant d'ordre $4$ desenvoluparem pels adjunts de la primera columna
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ 1&0 &0 &1 \\ 0&1 &0 &1 \\ 0&0 &1 &1 \end{vmatrix}=x\,\begin{vmatrix} 0&0 &1 \\ 1&0 &1 \\ 0&1 &1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} y&z &1 \\ 1&0 &1 \\ 0&1 &1 \end{vmatrix}=x-(1-y-z)$
                                                                              $=x+y+z-1$

Per tant el pla $\pi_{PQZ}$ ve descrit per l'equació (e. general del pla):

    $\pi_{PQZ}:\;\; x+y+z-1=0$

Nota:   Observem que si fem les projeccions del pla sobre els tres plans $Oxy$ ( fent $z=0$ ), $Oyz$ ( fent $x=0$ ) i $Oxz$ ( fent $y=0$ ) obtenim, respectivament, les rectes:
    $x+y=1$, és a dir, la recta $y=-x+1$ ( en el pla $Oxy$ )
    $z+y=1$, és a dir, la recta $z=-y+1$ ( en el pla $Oyz$ )
    $x+z=1$, és a dir, la recta $z=-x+1$ ( en el pla $Oxz$ )
$\square$

[nota del autor]

Calcular el límite ...

Enunciado:
Calcular el siguiente límite
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, x\,\tan\, \dfrac{1}{x}$

Solución:
Teniendo en cuenta que la función tangente no está acotada
    $\tan\,\alpha \in (-\infty, \infty)$
y aunque el factor $x$ tienda a cero cuando $x \rightarrow 0$, debemos tener en cuenta que la tangente de $1/x$ oscil·la entre $-\infty$ y $+\infty$: pequeñas variaciones de $x$ dan lugar a grandes variaciones del argumento de la razón tangente ( $1/x \rightarrow \infty$ cuando $x \rightarrow 0$ ), se concluye de ello que el límite no existe.
$\square$

[nota del autor]

Espiral de Arquimedes ( representada en coordenadas polares y haciendo uso de MAXIMA )

[nota del autor]

Ejemplo de trazo de una curva en coordenadas paramétricas usando MAXIMA

[nota del autor]

Ejemplo de uso de MAXIMA para desarrollar una función por serie de Taylor, alrededor de $x=0$ y hasta el término de orden $10$

[nota del autor]

Ejemplo de interpolación por el método de Lagrange haciendo uso de MAXIMA

[nota del autor]

Aplicar la regla de L'Hôpital para calcular el siguiente límite ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu el següent límit
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{x^2}{\sin^{2}\,x}$

Solució:
Passant al límit ens trobem amb una indeterminació del tipus zero partit per zero que tractarem fent ús de la regla de l'Hôpital repetidament:
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{x^2}{\sin^{2}\,x}=\big(\dfrac{0}{0}\big)=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{(x^2)^{'}}{(\sin^{2}\,x)^{'}}=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{2\,x}{2\,\sin\,x\,\cos\,x}$
        $\displaystyle=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{2\,x}{\sin\,2\,x}=\big(\dfrac{0}{0}\big)=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{(2\,x)^{'}}{(\sin\,2\,x)^{'}}$
        $\displaystyle=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{2}{2\,\cos\,2\,x}=\dfrac{2}{2\,\cos\,(2\cdot 0)}=\dfrac{2}{2\cdot \cos \,0}=\dfrac{2}{2\cdot 1}=1$
$\square$

[nota del autor]

Cálcular el siguiente límite. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu el següent límit
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, x\,\sin\, \dfrac{1}{x}$

Solució:
Tenint en compte que la funció
    $\sin \, \dfrac{1}{x}$
està fitada entre $-1$ i $1$
i que el factor $x$ tendeix a zero quan $x \rightarrow 0$
llavors
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, x\,\sin\, \dfrac{1}{x}=0$
$\square$

[nota del autor]

Calcular el límite ...

Enunciado:
Calcular el límite
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, x\,\sin\, x$

Solución:

Teniendo en cuenta que:
    1) la función seno toma valores comprendidos entre $-1$ y $1$ y que cuando $x \rightarrow \infty$ no es posible saber qué valor toma
    2) la función $x$ no es acotada
debemos concluir que el límite pedido no existe.
$\square$

[nota del autor]

Describir el conjunto de puntos de la recta de $\mathbb{R}^3$ que tiene la dirección del vector ...

ENUNCIADO:
Describir el conjunto de puntos de la recta de $\mathbb{R}^3$ que tiene la dirección deL vector $\vec{j}=(0,1,0)$, sabiendo además que pasa por el punto $Q(-1,-1,-1)$.

SOLUCIÓN:
Según la ecuación vectorial ( punto-vector ) de la recta, un punto cualquiera de la misma $P(x,y,z)$, viene dado por
$r:\,(x,y,z)=(-1,-1,-1)+\lambda\,(0,1,0)$, es decir la recta $r$ es el siguiente conjunto ( infinito ) de puntos: $$r:\,\lbrace(-1,\lambda-1,-1):\lambda \in \mathbb{R}\rbrace$$ $\square$

[nota del autor]

Sean las siguientes rectas de $\mathbb{R}^3$ ...

ENUNCIADO:
Sean las siguientes rectas de $\mathbb{R}^3$:
$r:\left\{\begin{matrix}
x &= &\lambda \\
y &= &-\lambda+1 \\
x &= &1 \\
\end{matrix}\right.$ y $s:\left\{\begin{matrix}
x &= &\mu+1 \\
y &= &\mu \\
x &= &0 \\
\end{matrix}\right.$
¿ Se intersecan ?

SOLUCIÓN:
Los vectores de posición de los puntos que pertencen a $r$ son de la forma $(\lambda\,,\,-\lambda+1\,,\,1)\; \forall \lambda \in \mathbb{R}$ y los vectores de los puntos de posición que están sobre $s$ son $(\mu+1\,,\,\mu\,,\,0)\; \forall \mu \in \mathbb{R}$. Supongamos que haya puntos de intersección de ambas rectos, entonces deberá cumplirse que $(\lambda\,,\,-\lambda+1\,,\,1)=(\mu+1\,,\,\mu\,,\,0)$ y por tanto el siguiente sistema de ecuaciones debe ser compatible,
$\left\{\begin{matrix}
\lambda &=&\mu+1 \\
-\lambda+1 &=&\mu&\\
1&=&0
\end{matrix}\right.$
ahora bien, de la última ecuación ( absurdo ) concluimos que es incompatible ( no existe solución ), luego debemos concluir que las rectas $r$ y $s$ no se intersecan. $\square$

[nota del autor]

Calcular el siguiente límite ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu el següent límit
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, x\,\tan\, \dfrac{1}{x}$

Solució:
Fent el canvi $w=1/x$ podem escriure
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, x\,\tan\, \dfrac{1}{x}=\lim_{w \rightarrow 0}\, \dfrac{1}{w}\,\tan\,w$
i, en passar al límit, s'obté una indeterminació del tipus $0/0$, que resoldrem fent ús de la tècnica de l'Hôpital
      $\displaystyle \lim_{w \rightarrow 0}\, \dfrac{1}{w}\,\tan\,w=\lim_{w \rightarrow 0}\, \dfrac{(\tan\,w)^{'}}{(w)^{'}}=\lim_{w \rightarrow 0}\, \dfrac{\frac{1}{\cos^{2}\,w}}{1}=\dfrac{1}{\cos^{2}\,0}=\dfrac{1}{1}=1$
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de integración ( indefinida ) de una función racional. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu
    $\displaystyle \int{\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx}$

Solució:
La funció integrand $f(x)$ és una funció racional impròpia.
Efectuant la divisió $(x^3+x-1) \div (x^2-1)$
trobem que el polinomi quocient és igual a $x$, i el polinomi residu és $2\,x+1$
i, doncs, pel teorema de la divisió, podem escriure
    $\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}=x+\dfrac{2\,x+1}{x^2-1}$
Llavors, podem escriure la integral de la forma
    $\displaystyle \int{\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx}=\int{\bigg( x + \dfrac{2\,x+1}{x^2-1}\bigg)\,dx}$
            $= \displaystyle \int{ x \,dx}+\int{ \dfrac{2\,x}{x^2-1}\,dx}+\int{ \dfrac{1}{x^2-1}\,dx}$
i tenint en compte que podem factoritzar el polinomi del denominador de la funció integrand del tercer terme: $x^2-1=(x-1)\,(x+1)$
escriurem
                $\dfrac{1}{x^2-1}$
com la suma de dues fraccions algebraiques
                $\dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x+1}$
Per tant ( i recopilant ), la integral donada
    $\displaystyle \int{\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx}$
és igual a la següent suma d'integrals ( més senzilles ):
    $\displaystyle \int{ x \,dx}+\int{ \dfrac{2\,x}{x^2-1}\,dx}+\int{ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x-1}\,dx}-\int{ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x+1}\,dx}$
que, integrades, i sumades, menen a
    $\displaystyle \dfrac{1}{2}\,x^2+\ln{\left|x^2-1\right|}+\dfrac{1}{2}\,\ln{\left|x-1\right|}-\dfrac{1}{2}\,\ln{\left|x+1\right|}+C$
        $=\displaystyle \dfrac{1}{2}\,x^2+\ln{\left|x^2-1\right|}+\dfrac{1}{2}\,\ln{\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|}+C$
on $C$, per ser la constant d'integració, és qualsevol nombre real.
$\square$

[nota del autor]

Una cuestión sobre continuidad de una función en ... ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
És contínua la funció
    $f(x)=\sin \, \dfrac{1}{x}$
en el punt d'abscissa $x=0$ ?

Solució:
La funció sinus no està definida per a $x=0$ perquè s'anul·la el denominador, llavors la funció no és contínua en aquest punt. Hem acabat.
$\square$

[nota del autor]

Ejemplo de demostración por el método de inducción. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Demostreu, per inducció, la següent propietat:
    $1+5+9+\ldots+(4\,n-3)=n\,(2\,n-1) \quad \quad \text{on} \quad n \in \mathbb{N}$

Solució:
Seguint els tres passos del mètode de demostració per inducció tenim. Aquests passos són els següents:

  i) És evident que la propietat és certa per a $n=1$, és a dir, es compleix $\mathcal{P}_1$

  ii) Suposem, ara, que la propietat $\mathcal{P}_n$ és certa ( suposem que és certa la proposició donada, és a dir, la igualtat donada a l'enunciat )

  iii) Provarem, a continuació, que la propietat també és certa per a $n+1$, és a dir, provarem que es compleix $\mathcal{P}_{n+1}$. Fet això, d'acord amb el principi dit d'inducció, quedarà demostrada la proposició $\mathcal{P}$ per a qualsevol valor de $n$. Partint, doncs, de l'expressió del primer membre de la igualtat donada (   $\mathcal{P}_n$   ) , sumem el terme $4\,(n-3)+4$ al primer membre (sumem el valor del terme consecutiu de la successió aritmètica de diferència igual a $4$), obtenint
  $\bigg(1+5+9+\ldots+\big(4\,n-3\big)\bigg)+\big((4\,n-3)+4\big)$
i, segons $\mathcal{P}_n$, és igual a
    $n\,(2\,n-1)+\big((4\,n-3)+4\big)$
expressió que és igual a
    $2\,n^2+3\,n+1$
i, factoritzada (nota), queda
    $(n+1)\,(2\,n+1)$
on reconeixem la reproducció de l'estructura de la propietat $\mathcal{P}$ per a $n+1$
    $(n+1)\,\big(2\,(n+1)-1\big)$
i, doncs, queda provada $\mathcal{P}$. Hem acabat.
---------------

Nota:  
Per factoritzar el polinomi $2\,n^2+3\,n+1$ en calculem, primer de tot, les arrels o zeros del polinomi (que són els nombres que l'anul·len) i, per acabar, aplicarem el teorema de factorització.

Resolem, doncs, l'equació $2\,n^2+3\,n+1=0$ per determinar les seves arrels. L'equació és polinòmica de 2n grau, i ja ve expressada en forma completa (o general) $a\,x^2+b\,x+c=0$, amb coeficients: $a=2$, $b=3$ i $c=1$
veiem que el discriminant $\Delta=b^2-4\,a\,c$ que és igual a $3^2-4 \cdot 2 \cdot 1 = 1$, que és un nombre positiu, i, per tant, veiem que hi ha dos nombres reals (diferents) com a solució, que són els següents:
      $\dfrac{-3\pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot 2}=\dfrac{-3\pm 1}{4}$
Obtenim, doncs, les següents arrels del polinomi
    $n_1=-\dfrac{1}{2} \quad \text{i} \quad n_2=-1$
llavors, pel teorema de factorització podem escriure
    $2\,n^2+3\,n+1=2\,\big(n-n_1\big)\,\big(n-n_2\big)$
és a dir
    $2\,n^2+3\,n+1=2\,\big(n-(-\dfrac{1}{2}\big)\,\big(n-(-1)\big)$
        $=2\,\bigg(n+\dfrac{1}{2}\bigg)\,\big(n+1)\big)$
        $=(n+1)\,\big(2\,(n+1)-1\big)$
        $=(n+1)\,\big(2\,n+1\big)$
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Determineu la matriu inversa $A^{-1}$ de la següent matriu regular ( no singular )
    $A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix}$

Enunciat:
Farem ús del mètode de reducció de Gauss-Jordan
    $(A|I)=\ldots =(I|A^{-1})$
on $I$ és la matriu identitat
        $I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\\end{pmatrix}$

Mitjançant operacions elementals per files, procedirem a reduir la matriu $(A|I)$ fins arribar a obtenir $(I|\square)$; de tal manera que totes les operacions elementals que apliquem a la part esquerra de $(A|I)$ ( i de les reduïdes que anem obtenint ) les aplicarem també a la part de la dreta. Primer de tot, esglaonarem amb zeros per sota (respectivament, pel damunt) de la diagonal principal i, a continuació, pel damunt (respectivament, per sota). Finalment, normalitzarem els coeficients de la diagonal principal i haurem arribat a la matriu reduïda $(I|\square)$ on la matriu designada amb el quadrat serà, precisament, la matriu inversa de $A$ ( $\square \equiv A^{-1}$ ).

Comencem:
    $(A|I)=\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & | & 1 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0\\ 2 & 4 & 3 & | & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$

amb les operacions elementals
$f_2-3\,f_1 \rightarrow f_2$
$f_3-2\,f_1 \rightarrow f_3$
s'obté
    $\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & | & 1 & 0 & 0\\ 0 & 7 & 2 & | & -3 & 1 & 0\\ 0 & 8 & 3 & | & -2 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$
i fent
$f_3-\dfrac{8}{7}\,f_2 \rightarrow f_3$
obtenim
    $\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & | & 1 & 0 & 0\\ 0 & 7 & 2 & | & -3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & \frac{5}{7} & | & \frac{10}{7} & -\frac{8}{7} & 1\\ \end{pmatrix}$
amb la qual cosa ja tenim reduïda (esglaonada ) amb zeros la part de sota.

Ara reduïrem la part superior:
$f_2-\dfrac{7}{5}\cdot 2\,f_3 \rightarrow f_2$
    $\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & | & 1 & 0 & 0\\ 0 & 7 & 0 & | & -7 & \frac{21}{5} & -\frac{14}{5}\\ 0 & 0 & \frac{5}{7} & | & \frac{10}{7} & -\frac{8}{7} & 1\\ \end{pmatrix}$
$f_1+\dfrac{1}{7}\cdot 2\,f_2 \rightarrow f_1$
    $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & | & -1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5}\\ 0 & 7 & 0 & | & -7 & \frac{21}{5} & -\frac{14}{5}\\ 0 & 0 & \frac{5}{7} & | & \frac{10}{7} & -\frac{8}{7} & 1\\\end{pmatrix}$

I, finalment, normalitzem els coeficients de la diagonal principal:
$\dfrac{1}{7}\cdot f_2 \rightarrow f_2$
$\dfrac{7}{5}\cdot f_3 \rightarrow f_3 $
    $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & | & -1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5}\\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & \frac{3}{5} & -\frac{2}{5}\\ 0 & 0 & 1 & | & 2 & -\frac{8}{5} & \frac{7}{5}\\\end{pmatrix}$

Per tant
    $A^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5}\\\\ -1 & \frac{3}{5} & -\frac{2}{5}\\\\ 2 & -\frac{8}{5} & \frac{7}{5}\\\end{pmatrix}$

Nota:     Es pot comprovar que $A\,A^{-1}=A^{-1}\,A=I$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio sobre las nociones de continuidad y derivabilidad. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Donada la funció:
    $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \; , \; x \mapsto \left| \sqrt{\left|x-2\right|} \right|$
Raoneu:
a) És contínua en tot el seu domini d'existència ?
b) És derivable en tot el seu domini d'existència ?

Solució:

a) La funció és contínua en tots els punts del domini d'existència, que és $\mathbb{R}$
b) Malgrat ser contínua en tot el domini d'existència, la funció no és derivable en el punt d'abscissa $x=2$ perquè el límit que defineix la derivada en aquest punt no existeix; en efecte, els límits laterals divergeixen: a $+\infty$ per la dreta, i a $-\infty$ per l'esquerra:
    $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^+}\, \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = +\infty$
i
    $\lim_{h \rightarrow 0^-}\, \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=-\infty$
per tant
    $\displaystyle \nexists \lim_{h \rightarrow 0}\, \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} \Rightarrow \nexists f'(2)$
$\square$

[nota del autor]

Ejemplo de aplicación de un modelo funcional. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Sabem, de la teoria de la gravitació de Newton, que el valor del potencial gravitatori en un punt situat a una distància $d_1$ de la massa que el crea és inversament proporcional a aquesta distància. Us demanem:
    a) A quina distància ( de la massa que crea el camp gravitatori ), $d_2$, el valor de la funció de potencial gravitatori és $10$ vegades més petit que en el punt situat en la primera posició ?

    b) A la distància $d_2$, quantes vegades és més petita la força gravitatòria entre els dos cossos, en relació a la que es dóna a la distància $d_1$ ?

    c) A quina distància de la posició de la massa que crea el camp gravitatori trobaríem que el valor de la funció de potencial gravitatori, i, també, el de la força gravitatòria entre els dos cossos, val zero ?.

Solució:
  a)
Tenint en compte que hi ha una relació de proporcionalitat inversa entre el valor del potencial $V$ creat per una massa en un punt $P$ i la distància $d$ respecte de la posició de la massa
    $V \propto \dfrac{1}{d} \Rightarrow V =\dfrac{k}{d} \Rightarrow V\cdot d = k$
( on $k$ és la constant de proporcionalitat inversa )
per tant, podrem escriure:
    $V_1 \cdot d_1 =V_2 \cdot d_2$
i si, d'acord amb la informació de l'enunciat, $V_1=10\,V_2$
arribem a
    $(10\,V_2) \cdot d_1=V_2 \cdot d_2$
i, simplificant, trobem que
    $d_2=10\,d_1 $

  b)
La força gravitatòria entre els dos cossos és inversament proporcional al quadrat de la distància que els separa,
    $f \propto \dfrac{1}{d^2}$
per tant
    $f_1 \cdot d_{1}^2 =f_2 \cdot d_{2}^2$
és a dir
    $\dfrac{f_2}{f_1}=\dfrac{d_{1}^2 }{d_{2}^2}$
i tenint en compte que
    $d_2=10\,d_1 $
trobem que
    $\dfrac{f_2}{f_1}=\dfrac{d_{1}^2 }{10^2 \cdot d_{1}^2}$
            $=\dfrac{1}{10^2}$
és a dir
    $f_2= \dfrac{f_1}{100}$

  c)
La distància a la qual el valor de la funció de potencial gravitatori s'anul·la i, doncs, també el de la força gravitatòria entre els dos cossos, ha de ser, infinita, atès que el valor de $V$, que és $\frac{k}{d}$, s'anul·la tan sols quan el denominador, $d$, pren un valor infinit ( ja que $k \neq 0$ ).
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de cálculo de la matriz inversa de una matriz regular por el método de la matriz adjunta. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Determineu la matriu inversa $A^{-1}$ de la següent matriu regular ( no singular )
    $A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix}$
pel mètode de la matriu adjunta de $A$.

Solució:
Sabem que si $A$ és una matriu regular ( si, i només si, el seu determinant $\left|A\right|$ ) és no nul ).

Comprovarem, doncs, que
    $\left|A\right| \neq 0$
Calculem valor del determinant [ per altra banda, necessitarem més endavant el valor del determinant de $A$, tal i com explicarem de seguida ]:

    $\left|A\right|=\begin{vmatrix}1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 3 \\ \end{vmatrix}$
desenvolupant pels adjunts d'alugna fila/columna( mètode de Laplace ); concretament, escollirem la primera fila ( aprofitant que un dels coeficients és zero per estalviar-nos feina de càlcul ), trobant que
    $\left|A\right|=\begin{vmatrix}1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 3 \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 4 & 3 \\ \end{vmatrix}-(-2=\,\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{vmatrix}=-5+2\cdot (9-4)=5$

    $A^{-1}=\dfrac{\text{Adj}(A^t)}{\left|A\right|}$
que, de manera equivalent, també es pot esciure així
    $A^{-1}=\dfrac{\big(\text{Adj}\big)^t}{\left|A\right|}$
atès que $\text{Adj}(A^t)=\big(\text{Adj}(A)\big)^t$
on els coeficients $\alpha_{ij}$ de la matriu $\text{Adj}(A)$ són de la forma
    $\alpha_{ij}=(-1)^{i+j}\,m_{ij}$
essent $m_{ij}$ el el determinant que s'obté de la matriu que resulta de suprimer la i-èssima fila i la j-èssima columna de $a_{ij}$ ( menor complementari de $a_{ij}$ )

Llavors
    $\text{Adj}(A)=\begin{pmatrix}m_{11} & -m_{12} & m_{13} \\ -m_{21} & m_{22} & -m_{23} \\ m_{31} & -m_{32} & m_{33} \\ \end{pmatrix}$

i essent els valors dels menors complementaris,

    $m_{11}=\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 4 & 3 \\ \end{vmatrix}=-5$
    $m_{12}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{vmatrix}=5$
    $m_{13}=\begin{vmatrix}3 & 1 \\ 2 & 4 \\ \end{vmatrix}=10$

    $m_{21}=\begin{vmatrix}-2 & 0 \\ 4 & 3 \\ \end{vmatrix}=-6$
    $m_{22}=\begin{vmatrix}1 & 0 \\ 2 & 3 \\ \end{vmatrix}=3$
    $m_{23}=\begin{vmatrix}1 & -2 \\ 2 & 4 \\ \end{vmatrix}=8$

    $m_{31}=\begin{vmatrix}-2 & 0 \\ 1 & 2 \\ \end{vmatrix}=-4$
    $m_{32}=\begin{vmatrix}1 & 0 \\ 3 & 2 \\ \end{vmatrix}=2$
    $m_{33}=\begin{vmatrix}1 & -2 \\ 3 & 1 \\ \end{vmatrix}=7$

trobem que

    $\text{Adj}(A)=\begin{pmatrix}-5 & -5 & 10 \\ 6 & 3 & -8 \\ -4 & -2 & 7 \\ \end{pmatrix}$

i, per tant, la matriu transposa de la matriu adjunta de $A$ és

    $\big(\text{Adj}(A)\big)^t=\begin{pmatrix}-5 & 6 & -4 \\ -5 & 3 & -2 \\ 10 & -8 & 7 \\ \end{pmatrix}$

Finalment, per acabar el càlcul de $A^{-1}$, tan sols falta dividir pel valor del determinant de $A$, arribant a

    $A^{-1}=\dfrac{1}{5}\,\begin{pmatrix}-5 & 6 & -4 \\ -5 & 3 & -2 \\ 10 & -8 & 7 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5} \\ \\ -1 & \frac{3}{5} & -\frac{2}{5} \\\\ 2 & -\frac{8}{5} & \frac{7}{5} \\ \end{pmatrix}$

Nota:     Per comprovar el resultat, tindrem en compte que s'ha de complir
    $A^{-1}\,A=A\,A^{-1}=I$
on $I$ és la matriu identitat
    $I=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$
Vegem-ho (per la definició del producte de multiplicació de matrius):
    $\begin{pmatrix}-1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5} \\ \\ -1 & \frac{3}{5} & -\frac{2}{5} \\\\ 2 & -\frac{8}{5} & \frac{7}{5} \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ \\ 3 & 1 & 2 \\\\ 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix} = \ldots = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ \\ 0 & 1 & 0 \\ \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} $
i també
    $ \begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ \\ 3 & 1 & 2 \\\\ 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5} \\ \\ -1 & \frac{3}{5} & -\frac{2}{5} \\\\ 2 & -\frac{8}{5} & \frac{7}{5} \\ \end{pmatrix} = \ldots = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ \\ 0 & 1 & 0 \\ \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} $

$\square$

[nota del autor]

Integración. Aplicación a la obtención de las ecuaciones del movimiento en un caso sencillo. ( Artículo escrito en catalán ).

Integració de l'equació de l'acceleració

Enunciat:
Considereu que la funció $a(t)=t+1$ ( $t$ designa la variable temps ) descriu l'acceleració instantània d'una partícula en un moviment unidimensional i rectilini (al llarg de l'eix $\text{Ox}$). Sabent que a l'instant $t=1 \; \text{s}$, la posició $s$ és igual a $2 \, \text{m}$ (respecte de l'origen), i que, en aquest mateix instant de temps, la velocitat de la partícula és igual a $-1 \;\; \text{m}\,\text{s}^{-1}$, determineu:
    a) la funció que dóna la velocitat en cada instant de temps $v(t)$
            [la funció acceleració instanània $v(t)$ és la funció derivada de la funció velocitat instantània $v(t)$]
    b) la funció que dóna la posició en cada instant de temps $x(t)$
            [la funció velocitat instantània $v(t)$ és la funció derivada de la funció de posició $x(t)$]
    c) els valors de la posició, la velocitat, i l'acceleració per a $t=0 \, \text{s}$

Resolució:

a)     Trobem la funció velocitat a partir de la integral indefinida de la funció acceleració

Per això, cal resodre la integral indefinida

$\displaystyle v(t)=\int \,a(t)\,dt$

de la qual obtenim la família de funcions primitives de $a(t)$

$\{\dfrac{1}{2}\,t^2+t+C\}$

i, d'aquestes, determinarem la f. primitiva que satisfà la condició de l'enunciat: $v(1 \; \text{s})=-1 \; \text{m}\,\text{s}^{-1}$

a partir de la qual, calcularem el valor de la constant d'integració $C$

$-1=\dfrac{1}{2}+1+C$

i, aïllant $C$, trobem

$C=-\dfrac{5}{2} \; \text{m}\,\text{s}^{-1}$

Per tant, deduïm que

$v(t)=\dfrac{1}{2}\,t^2+t-\dfrac{5}{2}$

$\square$


b)     Per determinar la funció de posició $x(t)$ cal resoldre el problema de la integral indefinida de la funció $v(t)$; és a dir,

$\displaystyle \int \,v(t)\,dt$

que, com és ben sabut, és igual a una família de funcions primitives $\{x(t)+D\}$     (on $D$ representa la constant d'integració )

Integrant, trobem fàcilment

$\displaystyle \int \, \big(\dfrac{1}{2}\,t^2+t-\dfrac{5}{2} \big) \, dt = \dfrac{1}{6}\,t^3 - \dfrac{1}{2}\,t^2 - \dfrac{5}{2}\,t + D \quad \quad \quad (1)$

I, imposant la condició inicial $x(1 \; \text{s})=2 \; \text{m}$, determinem el valor de la constant d'integració: $D$

$D=2-\bigg( \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{2}\bigg)$

és a dir

$D=\ldots=\dfrac{23}{6} \; \text{m}$

I, finalment, substituint aquest valor en (1) podem concretar la funció de posició

$x(t)=\dfrac{1}{6}\,t^3 + \dfrac{1}{2}\,t^2 - \dfrac{5}{2}\,t + \dfrac{23}{6}$

c)     Substituint aquest valor de la variable temps a les funcions corresponents obtenim:

      $x(0)=\ldots=\dfrac{23}{6} \; \text{m}$ (la coordenada de posició es pot expressar com la distància a l'origen de coordenades)

      $v(0)=\ldots=-\dfrac{5}{2} \; \text{m}\;\text{s}^{-1}$

      $a(0)=\ldots=1 \; \text{m}\;\text{s}^{-2}$

$\square$

[nota del autor]