Aplicar la regla de L'Hôpital para calcular el siguiente límite ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu el següent límit
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{x^2}{\sin^{2}\,x}$

Solució:
Passant al límit ens trobem amb una indeterminació del tipus zero partit per zero que tractarem fent ús de la regla de l'Hôpital repetidament:
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{x^2}{\sin^{2}\,x}=\big(\dfrac{0}{0}\big)=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{(x^2)^{'}}{(\sin^{2}\,x)^{'}}=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{2\,x}{2\,\sin\,x\,\cos\,x}$
        $\displaystyle=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{2\,x}{\sin\,2\,x}=\big(\dfrac{0}{0}\big)=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{(2\,x)^{'}}{(\sin\,2\,x)^{'}}$
        $\displaystyle=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{2}{2\,\cos\,2\,x}=\dfrac{2}{2\,\cos\,(2\cdot 0)}=\dfrac{2}{2\cdot \cos \,0}=\dfrac{2}{2\cdot 1}=1$
$\square$

[nota del autor]