Processing math: 100%

lunes, 6 de abril de 2015

Ejercicio de cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Determineu la matriu inversa A^{-1} de la següent matriu regular ( no singular )
    A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix}

Enunciat:
Farem ús del mètode de reducció de Gauss-Jordan
    (A|I)=\ldots =(I|A^{-1})
on I és la matriu identitat
        I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\\end{pmatrix}

Mitjançant operacions elementals per files, procedirem a reduir la matriu (A|I) fins arribar a obtenir (I|\square); de tal manera que totes les operacions elementals que apliquem a la part esquerra de (A|I) ( i de les reduïdes que anem obtenint ) les aplicarem també a la part de la dreta. Primer de tot, esglaonarem amb zeros per sota (respectivament, pel damunt) de la diagonal principal i, a continuació, pel damunt (respectivament, per sota). Finalment, normalitzarem els coeficients de la diagonal principal i haurem arribat a la matriu reduïda (I|\square) on la matriu designada amb el quadrat serà, precisament, la matriu inversa de A ( \square \equiv A^{-1} ).

Comencem:
    (A|I)=\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & | & 1 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0\\ 2 & 4 & 3 & | & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}

amb les operacions elementals
f_2-3\,f_1 \rightarrow f_2
f_3-2\,f_1 \rightarrow f_3
s'obté
    \begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & | & 1 & 0 & 0\\ 0 & 7 & 2 & | & -3 & 1 & 0\\ 0 & 8 & 3 & | & -2 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}
i fent
f_3-\dfrac{8}{7}\,f_2 \rightarrow f_3
obtenim
    \begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & | & 1 & 0 & 0\\ 0 & 7 & 2 & | & -3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & \frac{5}{7} & | & \frac{10}{7} & -\frac{8}{7} & 1\\ \end{pmatrix}
amb la qual cosa ja tenim reduïda (esglaonada ) amb zeros la part de sota.

Ara reduïrem la part superior:
f_2-\dfrac{7}{5}\cdot 2\,f_3 \rightarrow f_2
    \begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & | & 1 & 0 & 0\\ 0 & 7 & 0 & | & -7 & \frac{21}{5} & -\frac{14}{5}\\ 0 & 0 & \frac{5}{7} & | & \frac{10}{7} & -\frac{8}{7} & 1\\ \end{pmatrix}
f_1+\dfrac{1}{7}\cdot 2\,f_2 \rightarrow f_1
    \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & | & -1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5}\\ 0 & 7 & 0 & | & -7 & \frac{21}{5} & -\frac{14}{5}\\ 0 & 0 & \frac{5}{7} & | & \frac{10}{7} & -\frac{8}{7} & 1\\\end{pmatrix}

I, finalment, normalitzem els coeficients de la diagonal principal:
\dfrac{1}{7}\cdot f_2 \rightarrow f_2
\dfrac{7}{5}\cdot f_3 \rightarrow f_3
    \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & | & -1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5}\\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & \frac{3}{5} & -\frac{2}{5}\\ 0 & 0 & 1 & | & 2 & -\frac{8}{5} & \frac{7}{5}\\\end{pmatrix}

Per tant
    A^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5}\\\\ -1 & \frac{3}{5} & -\frac{2}{5}\\\\ 2 & -\frac{8}{5} & \frac{7}{5}\\\end{pmatrix}

Nota:     Es pot comprovar que A\,A^{-1}=A^{-1}\,A=I

\square

[nota del autor]

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Gracias por tus comentarios