Ejercicio de cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Determineu la matriu inversa $A^{-1}$ de la següent matriu regular ( no singular )
    $A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix}$

Enunciat:
Farem ús del mètode de reducció de Gauss-Jordan
    $(A|I)=\ldots =(I|A^{-1})$
on $I$ és la matriu identitat
        $I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\\end{pmatrix}$

Mitjançant operacions elementals per files, procedirem a reduir la matriu $(A|I)$ fins arribar a obtenir $(I|\square)$; de tal manera que totes les operacions elementals que apliquem a la part esquerra de $(A|I)$ ( i de les reduïdes que anem obtenint ) les aplicarem també a la part de la dreta. Primer de tot, esglaonarem amb zeros per sota (respectivament, pel damunt) de la diagonal principal i, a continuació, pel damunt (respectivament, per sota). Finalment, normalitzarem els coeficients de la diagonal principal i haurem arribat a la matriu reduïda $(I|\square)$ on la matriu designada amb el quadrat serà, precisament, la matriu inversa de $A$ ( $\square \equiv A^{-1}$ ).

Comencem:
    $(A|I)=\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & | & 1 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0\\ 2 & 4 & 3 & | & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$

amb les operacions elementals
$f_2-3\,f_1 \rightarrow f_2$
$f_3-2\,f_1 \rightarrow f_3$
s'obté
    $\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & | & 1 & 0 & 0\\ 0 & 7 & 2 & | & -3 & 1 & 0\\ 0 & 8 & 3 & | & -2 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$
i fent
$f_3-\dfrac{8}{7}\,f_2 \rightarrow f_3$
obtenim
    $\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & | & 1 & 0 & 0\\ 0 & 7 & 2 & | & -3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & \frac{5}{7} & | & \frac{10}{7} & -\frac{8}{7} & 1\\ \end{pmatrix}$
amb la qual cosa ja tenim reduïda (esglaonada ) amb zeros la part de sota.

Ara reduïrem la part superior:
$f_2-\dfrac{7}{5}\cdot 2\,f_3 \rightarrow f_2$
    $\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & | & 1 & 0 & 0\\ 0 & 7 & 0 & | & -7 & \frac{21}{5} & -\frac{14}{5}\\ 0 & 0 & \frac{5}{7} & | & \frac{10}{7} & -\frac{8}{7} & 1\\ \end{pmatrix}$
$f_1+\dfrac{1}{7}\cdot 2\,f_2 \rightarrow f_1$
    $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & | & -1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5}\\ 0 & 7 & 0 & | & -7 & \frac{21}{5} & -\frac{14}{5}\\ 0 & 0 & \frac{5}{7} & | & \frac{10}{7} & -\frac{8}{7} & 1\\\end{pmatrix}$

I, finalment, normalitzem els coeficients de la diagonal principal:
$\dfrac{1}{7}\cdot f_2 \rightarrow f_2$
$\dfrac{7}{5}\cdot f_3 \rightarrow f_3 $
    $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & | & -1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5}\\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & \frac{3}{5} & -\frac{2}{5}\\ 0 & 0 & 1 & | & 2 & -\frac{8}{5} & \frac{7}{5}\\\end{pmatrix}$

Per tant
    $A^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5}\\\\ -1 & \frac{3}{5} & -\frac{2}{5}\\\\ 2 & -\frac{8}{5} & \frac{7}{5}\\\end{pmatrix}$

Nota:     Es pot comprovar que $A\,A^{-1}=A^{-1}\,A=I$

$\square$

[nota del autor]