Definiciones básicas para trabajar con modelos funcionales en economía

En los modelos matemáticos, la función de beneficio da el beneficio obtenido al vender $x$ unidades de producto comercial; la función de coste da el coste que supone vender $x$ unidades de producto comercial, y la función de ingresos describe la cuantía de los ingresos obtenidos al vender $x$ unidades de producto comercial.

Por otra parte, con la función de demanda, $D(x)$, se modela el precio que corresponde a $x$ unidades ( de producto comercial ) demandadas, y con
la función de oferta, $O(x)$, el precio que corresponde a $x$ unidades ( de producto comercial ) ofertadas. En un modelo estándar, la función de demanda es decreciente y la de oferta es creciente; el punto de corte de dichas curvas, representa un equilibrio teórico entre la oferta y la demanda.

La tasa de variación media del ingreso en un intervalo de longitud $\Delta\,x$ ( del número de unidades de producto comercial vendidas ) se define como la razón $\dfrac{\Delta\,I}{\Delta\,x}$, donde $\Delta\,I$ es el incremento en los ingresos que se da con un incremento $\Delta\,x$, por lo que llamamos ingreso marginal a la tasa de variación instantánea del ingreso, es decir, a la derivada de la función $I(x)$, es decir, con el término ingreso marginal nos referimos a la función derivada $I'(x)$ o lo que es lo mismo $\dfrac{dI(x)}{dx}$, siendo el ingreso marginal en un punto el número $\left(\dfrac{dI(x)}{dx}\right)_{x_0}$, habiéndose vendido $x_0$ unidades del producto comercial.

La tasa de variación media del costeen un intervalo de longitud $\Delta\,x$ ( del número de unidades de producto comercial vendidas ) se define como la razón $\dfrac{\Delta\,C}{\Delta\,x}$, donde $\Delta\,C$ es el incremento del coste que se da con un incremento $\Delta\,x$, por lo que llamamos coste marginal a la tasa de variación instantánea del coste, es decir, a la derivada de la función $C(x)$, es decir, con el término coste marginal nos referimos a la función derivada $C'(x)$ o lo que es lo mismo $\dfrac{dC(x)}{dx}$, siendo el coste marginal en un punto el número $\left(\dfrac{dC(x)}{dx}\right)_{x_0}$, habiéndose vendido $x_0$ unidades del producto comercial.

La tasa tasa de variación media del beneficio en un intervalo de longitud $\Delta\,x$ ( del número de unidades de producto comercial vendidas ) se define como la razón $\dfrac{\Delta\,B}{\Delta\,x}$, donde $\Delta\,B$ es el incremento de beneficio que se da con un incremento $\Delta\,x$, por lo que llamamos beneficio marginal a la tasa de variación instantánea del beneficio, esto es, a la derivada de la función $B(x)$, es decir, con el término beneficio marginal nos referimos a la función derivada $B'(x)$ o lo que es lo mismo $\dfrac{dB(x)}{dx}$, siendo la beneficio marginal en un punto el número $\left(\dfrac{dB(x)}{dx}\right)_{x_0}$, habiéndose vendido $x_0$ unidades del producto comercial.

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Ejemplo de aplicación de un modelo funcional. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Sabem, de la teoria de la gravitació de Newton, que el valor del potencial gravitatori en un punt situat a una distància $d_1$ de la massa que el crea és inversament proporcional a aquesta distància. Us demanem:
    a) A quina distància ( de la massa que crea el camp gravitatori ), $d_2$, el valor de la funció de potencial gravitatori és $10$ vegades més petit que en el punt situat en la primera posició ?

    b) A la distància $d_2$, quantes vegades és més petita la força gravitatòria entre els dos cossos, en relació a la que es dóna a la distància $d_1$ ?

    c) A quina distància de la posició de la massa que crea el camp gravitatori trobaríem que el valor de la funció de potencial gravitatori, i, també, el de la força gravitatòria entre els dos cossos, val zero ?.

Solució:
  a)
Tenint en compte que hi ha una relació de proporcionalitat inversa entre el valor del potencial $V$ creat per una massa en un punt $P$ i la distància $d$ respecte de la posició de la massa
    $V \propto \dfrac{1}{d} \Rightarrow V =\dfrac{k}{d} \Rightarrow V\cdot d = k$
( on $k$ és la constant de proporcionalitat inversa )
per tant, podrem escriure:
    $V_1 \cdot d_1 =V_2 \cdot d_2$
i si, d'acord amb la informació de l'enunciat, $V_1=10\,V_2$
arribem a
    $(10\,V_2) \cdot d_1=V_2 \cdot d_2$
i, simplificant, trobem que
    $d_2=10\,d_1 $

  b)
La força gravitatòria entre els dos cossos és inversament proporcional al quadrat de la distància que els separa,
    $f \propto \dfrac{1}{d^2}$
per tant
    $f_1 \cdot d_{1}^2 =f_2 \cdot d_{2}^2$
és a dir
    $\dfrac{f_2}{f_1}=\dfrac{d_{1}^2 }{d_{2}^2}$
i tenint en compte que
    $d_2=10\,d_1 $
trobem que
    $\dfrac{f_2}{f_1}=\dfrac{d_{1}^2 }{10^2 \cdot d_{1}^2}$
            $=\dfrac{1}{10^2}$
és a dir
    $f_2= \dfrac{f_1}{100}$

  c)
La distància a la qual el valor de la funció de potencial gravitatori s'anul·la i, doncs, també el de la força gravitatòria entre els dos cossos, ha de ser, infinita, atès que el valor de $V$, que és $\frac{k}{d}$, s'anul·la tan sols quan el denominador, $d$, pren un valor infinit ( ja que $k \neq 0$ ).
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[nota del autor]