Enunciat:
Designem amb $n$ el cardinal d'un conjunt finit $A$ (nombre d'elements del conjunt). Demostreu la següent propietat:
$n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$
Ajuts:
a) Feu servir les definicions dels conjunts: $\bar{A}$, complementari absolut de $A$; i $\bar{A_{B}}$, complementari de $A$ relatiu a $B$, éssent $A \subseteq U$ i $B \subseteq U$ (on $U$ designa el conjunt universal ). Per tant,
$\bar{A_{U}}=\{x \in U : x \notin A\}$
$\bar{A_{B}}=\{x \in A : x \notin B\}$
b) Feu servir la següent propietat (que considerarem trivial):
Si $A \cap B = \varnothing$, llavors
$n(A \cup B) = n(A)+n(B)$
Solució:
Considerant el fet que
$\bar{A_{B}} \cap B = \varnothing$
podem escriure la unió de $A$ i $B$ de la forma
$A \cup B = \bar{A_{B}} \cup B$
i per la propietat (b)
$n(A \cup B) = n\big(\bar{A_{B}}\big) + n(B) \quad \quad (1)$
Tenint en compte, ara, que
$A=\bar{A_{B}} \cup (A \cap B)$
i que
$\bar{A_{B}} \cap (A \cap B) = \varnothing$
emprant, altra vegada la propietat (b), escriurem
$n(A)=n(\bar{A_{B}}) + n(A \cap B)$
i, per tant,
$n(\bar{A_{B}})=n(A) - n(A \cap B)$
que substituït en (1) permet arribar a la igualtat que volíem demostrar
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
$\square$
Observació: Per inducció es poden demostrar altres propietats que es desprenen d'aquesta que acabem de demostrar, tot generalitzant-la, per exemple:
$n(A \cup B \cup C) = \ldots $
$= n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$
Totes aquestes propietats són molt útils per al càlcul de probabilitats.
