Integració de l'equació de l'acceleració
Enunciat:
Considereu que la funció a(t)=t+1 ( t designa la variable temps ) descriu l'acceleració instantània d'una partícula en un moviment unidimensional i rectilini (al llarg de l'eix \text{Ox}). Sabent que a l'instant t=1 \; \text{s}, la posició s és igual a 2 \, \text{m} (respecte de l'origen), i que, en aquest mateix instant de temps, la velocitat de la partícula és igual a -1 \;\; \text{m}\,\text{s}^{-1}, determineu:
a) la funció que dóna la velocitat en cada instant de temps v(t)
[la funció acceleració instanània v(t) és la funció derivada de la funció velocitat instantània v(t)]
b) la funció que dóna la posició en cada instant de temps x(t)
[la funció velocitat instantània v(t) és la funció derivada de la funció de posició x(t)]
c) els valors de la posició, la velocitat, i l'acceleració per a t=0 \, \text{s}
Resolució:
a) Trobem la funció velocitat a partir de la integral indefinida de la funció acceleració
Per això, cal resodre la integral indefinida
\displaystyle v(t)=\int \,a(t)\,dt
de la qual obtenim la família de funcions primitives de a(t)
\{\dfrac{1}{2}\,t^2+t+C\}
i, d'aquestes, determinarem la f. primitiva que satisfà la condició de l'enunciat: v(1 \; \text{s})=-1 \; \text{m}\,\text{s}^{-1}
a partir de la qual, calcularem el valor de la constant d'integració C
-1=\dfrac{1}{2}+1+C
i, aïllant C, trobem
C=-\dfrac{5}{2} \; \text{m}\,\text{s}^{-1}
Per tant, deduïm que
v(t)=\dfrac{1}{2}\,t^2+t-\dfrac{5}{2}
\square
b) Per determinar la funció de posició x(t) cal resoldre el problema de la integral indefinida de la funció v(t); és a dir,
\displaystyle \int \,v(t)\,dt
que, com és ben sabut, és igual a una família de funcions primitives \{x(t)+D\} (on D representa la constant d'integració )
Integrant, trobem fàcilment
\displaystyle \int \, \big(\dfrac{1}{2}\,t^2+t-\dfrac{5}{2} \big) \, dt = \dfrac{1}{6}\,t^3 - \dfrac{1}{2}\,t^2 - \dfrac{5}{2}\,t + D \quad \quad \quad (1)
I, imposant la condició inicial x(1 \; \text{s})=2 \; \text{m}, determinem el valor de la constant d'integració: D
D=2-\bigg( \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{2}\bigg)
és a dir
D=\ldots=\dfrac{23}{6} \; \text{m}
I, finalment, substituint aquest valor en (1) podem concretar la funció de posició
x(t)=\dfrac{1}{6}\,t^3 + \dfrac{1}{2}\,t^2 - \dfrac{5}{2}\,t + \dfrac{23}{6}
c) Substituint aquest valor de la variable temps a les funcions corresponents obtenim:
x(0)=\ldots=\dfrac{23}{6} \; \text{m} (la coordenada de posició es pot expressar com la distància a l'origen de coordenades)
v(0)=\ldots=-\dfrac{5}{2} \; \text{m}\;\text{s}^{-1}
a(0)=\ldots=1 \; \text{m}\;\text{s}^{-2}
\square
No hay comentarios:
Publicar un comentario
Gracias por tus comentarios