Loading web-font TeX/Math/Italic

sábado, 4 de abril de 2015

Integración. Aplicación a la obtención de las ecuaciones del movimiento en un caso sencillo. ( Artículo escrito en catalán ).

Integració de l'equació de l'acceleració

Enunciat:
Considereu que la funció a(t)=t+1 ( t designa la variable temps ) descriu l'acceleració instantània d'una partícula en un moviment unidimensional i rectilini (al llarg de l'eix \text{Ox}). Sabent que a l'instant t=1 \; \text{s}, la posició s és igual a 2 \, \text{m} (respecte de l'origen), i que, en aquest mateix instant de temps, la velocitat de la partícula és igual a -1 \;\; \text{m}\,\text{s}^{-1}, determineu:
    a) la funció que dóna la velocitat en cada instant de temps v(t)
            [la funció acceleració instanània v(t) és la funció derivada de la funció velocitat instantània v(t)]
    b) la funció que dóna la posició en cada instant de temps x(t)
            [la funció velocitat instantània v(t) és la funció derivada de la funció de posició x(t)]
    c) els valors de la posició, la velocitat, i l'acceleració per a t=0 \, \text{s}


Resolució:

a)     Trobem la funció velocitat a partir de la integral indefinida de la funció acceleració

Per això, cal resodre la integral indefinida

\displaystyle v(t)=\int \,a(t)\,dt

de la qual obtenim la família de funcions primitives de a(t)

\{\dfrac{1}{2}\,t^2+t+C\}

i, d'aquestes, determinarem la f. primitiva que satisfà la condició de l'enunciat: v(1 \; \text{s})=-1 \; \text{m}\,\text{s}^{-1}

a partir de la qual, calcularem el valor de la constant d'integració C

-1=\dfrac{1}{2}+1+C

i, aïllant C, trobem

C=-\dfrac{5}{2} \; \text{m}\,\text{s}^{-1}

Per tant, deduïm que

v(t)=\dfrac{1}{2}\,t^2+t-\dfrac{5}{2}

\square


b)     Per determinar la funció de posició x(t) cal resoldre el problema de la integral indefinida de la funció v(t); és a dir,

\displaystyle \int \,v(t)\,dt

que, com és ben sabut, és igual a una família de funcions primitives \{x(t)+D\}     (on D representa la constant d'integració )

Integrant, trobem fàcilment

\displaystyle \int \, \big(\dfrac{1}{2}\,t^2+t-\dfrac{5}{2} \big) \, dt = \dfrac{1}{6}\,t^3 - \dfrac{1}{2}\,t^2 - \dfrac{5}{2}\,t + D \quad \quad \quad (1)

I, imposant la condició inicial x(1 \; \text{s})=2 \; \text{m}, determinem el valor de la constant d'integració: D

D=2-\bigg( \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{2}\bigg)

és a dir

D=\ldots=\dfrac{23}{6} \; \text{m}

I, finalment, substituint aquest valor en (1) podem concretar la funció de posició

x(t)=\dfrac{1}{6}\,t^3 + \dfrac{1}{2}\,t^2 - \dfrac{5}{2}\,t + \dfrac{23}{6}

c)     Substituint aquest valor de la variable temps a les funcions corresponents obtenim:

      x(0)=\ldots=\dfrac{23}{6} \; \text{m} (la coordenada de posició es pot expressar com la distància a l'origen de coordenades)

      v(0)=\ldots=-\dfrac{5}{2} \; \text{m}\;\text{s}^{-1}

      a(0)=\ldots=1 \; \text{m}\;\text{s}^{-2}

\square


[nota del autor]

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Gracias por tus comentarios