Processing math: 0%

martes, 7 de abril de 2015

Ejemplo de demostración por el método de inducción. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Demostreu, per inducció, la següent propietat:
    1+5+9+\ldots+(4\,n-3)=n\,(2\,n-1) \quad \quad \text{on} \quad n \in \mathbb{N}

Solució:
Seguint els tres passos del mètode de demostració per inducció tenim. Aquests passos són els següents:

  i) És evident que la propietat és certa per a n=1, és a dir, es compleix \mathcal{P}_1

  ii) Suposem, ara, que la propietat \mathcal{P}_n és certa ( suposem que és certa la proposició donada, és a dir, la igualtat donada a l'enunciat )

  iii) Provarem, a continuació, que la propietat també és certa per a n+1, és a dir, provarem que es compleix \mathcal{P}_{n+1}. Fet això, d'acord amb el principi dit d'inducció, quedarà demostrada la proposició \mathcal{P} per a qualsevol valor de n. Partint, doncs, de l'expressió del primer membre de la igualtat donada (   \mathcal{P}_n   ) , sumem el terme 4\,(n-3)+4 al primer membre (sumem el valor del terme consecutiu de la successió aritmètica de diferència igual a 4), obtenint
  \bigg(1+5+9+\ldots+\big(4\,n-3\big)\bigg)+\big((4\,n-3)+4\big)
i, segons \mathcal{P}_n, és igual a
    n\,(2\,n-1)+\big((4\,n-3)+4\big)
expressió que és igual a
    2\,n^2+3\,n+1
i, factoritzada (nota), queda
    (n+1)\,(2\,n+1)
on reconeixem la reproducció de l'estructura de la propietat \mathcal{P} per a n+1
    (n+1)\,\big(2\,(n+1)-1\big)
i, doncs, queda provada \mathcal{P}. Hem acabat.
---------------

Nota:  
Per factoritzar el polinomi 2\,n^2+3\,n+1 en calculem, primer de tot, les arrels o zeros del polinomi (que són els nombres que l'anul·len) i, per acabar, aplicarem el teorema de factorització.

Resolem, doncs, l'equació 2\,n^2+3\,n+1=0 per determinar les seves arrels. L'equació és polinòmica de 2n grau, i ja ve expressada en forma completa (o general) a\,x^2+b\,x+c=0, amb coeficients: a=2, b=3 i c=1
veiem que el discriminant \Delta=b^2-4\,a\,c que és igual a 3^2-4 \cdot 2 \cdot 1 = 1, que és un nombre positiu, i, per tant, veiem que hi ha dos nombres reals (diferents) com a solució, que són els següents:
      \dfrac{-3\pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot 2}=\dfrac{-3\pm 1}{4}
Obtenim, doncs, les següents arrels del polinomi
    n_1=-\dfrac{1}{2} \quad \text{i} \quad n_2=-1
llavors, pel teorema de factorització podem escriure
    2\,n^2+3\,n+1=2\,\big(n-n_1\big)\,\big(n-n_2\big)
és a dir
    2\,n^2+3\,n+1=2\,\big(n-(-\dfrac{1}{2}\big)\,\big(n-(-1)\big)
        =2\,\bigg(n+\dfrac{1}{2}\bigg)\,\big(n+1)\big)
        =(n+1)\,\big(2\,(n+1)-1\big)
        =(n+1)\,\big(2\,n+1\big)
\square

[nota del autor]

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Gracias por tus comentarios