Ejemplo de aplicación de un modelo funcional. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Sabem, de la teoria de la gravitació de Newton, que el valor del potencial gravitatori en un punt situat a una distància $d_1$ de la massa que el crea és inversament proporcional a aquesta distància. Us demanem:
    a) A quina distància ( de la massa que crea el camp gravitatori ), $d_2$, el valor de la funció de potencial gravitatori és $10$ vegades més petit que en el punt situat en la primera posició ?

    b) A la distància $d_2$, quantes vegades és més petita la força gravitatòria entre els dos cossos, en relació a la que es dóna a la distància $d_1$ ?

    c) A quina distància de la posició de la massa que crea el camp gravitatori trobaríem que el valor de la funció de potencial gravitatori, i, també, el de la força gravitatòria entre els dos cossos, val zero ?.

Solució:
  a)
Tenint en compte que hi ha una relació de proporcionalitat inversa entre el valor del potencial $V$ creat per una massa en un punt $P$ i la distància $d$ respecte de la posició de la massa
    $V \propto \dfrac{1}{d} \Rightarrow V =\dfrac{k}{d} \Rightarrow V\cdot d = k$
( on $k$ és la constant de proporcionalitat inversa )
per tant, podrem escriure:
    $V_1 \cdot d_1 =V_2 \cdot d_2$
i si, d'acord amb la informació de l'enunciat, $V_1=10\,V_2$
arribem a
    $(10\,V_2) \cdot d_1=V_2 \cdot d_2$
i, simplificant, trobem que
    $d_2=10\,d_1 $

  b)
La força gravitatòria entre els dos cossos és inversament proporcional al quadrat de la distància que els separa,
    $f \propto \dfrac{1}{d^2}$
per tant
    $f_1 \cdot d_{1}^2 =f_2 \cdot d_{2}^2$
és a dir
    $\dfrac{f_2}{f_1}=\dfrac{d_{1}^2 }{d_{2}^2}$
i tenint en compte que
    $d_2=10\,d_1 $
trobem que
    $\dfrac{f_2}{f_1}=\dfrac{d_{1}^2 }{10^2 \cdot d_{1}^2}$
            $=\dfrac{1}{10^2}$
és a dir
    $f_2= \dfrac{f_1}{100}$

  c)
La distància a la qual el valor de la funció de potencial gravitatori s'anul·la i, doncs, també el de la força gravitatòria entre els dos cossos, ha de ser, infinita, atès que el valor de $V$, que és $\frac{k}{d}$, s'anul·la tan sols quan el denominador, $d$, pren un valor infinit ( ja que $k \neq 0$ ).
$\square$

[nota del autor]