Enunciat:
Designem amb n el cardinal d'un conjunt finit A (nombre d'elements del conjunt). Demostreu la següent propietat:
n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)
Ajuts:
a) Feu servir les definicions dels conjunts: \bar{A}, complementari absolut de A; i \bar{A_{B}}, complementari de A relatiu a B, éssent A \subseteq U i B \subseteq U (on U designa el conjunt universal ). Per tant,
\bar{A_{U}}=\{x \in U : x \notin A\}
\bar{A_{B}}=\{x \in A : x \notin B\}
b) Feu servir la següent propietat (que considerarem trivial):
Si A \cap B = \varnothing, llavors
n(A \cup B) = n(A)+n(B)
Solució:
Considerant el fet que
\bar{A_{B}} \cap B = \varnothing
podem escriure la unió de A i B de la forma
A \cup B = \bar{A_{B}} \cup B
i per la propietat (b)
n(A \cup B) = n\big(\bar{A_{B}}\big) + n(B) \quad \quad (1)
Tenint en compte, ara, que
A=\bar{A_{B}} \cup (A \cap B)
i que
\bar{A_{B}} \cap (A \cap B) = \varnothing
emprant, altra vegada la propietat (b), escriurem
n(A)=n(\bar{A_{B}}) + n(A \cap B)
i, per tant,
n(\bar{A_{B}})=n(A) - n(A \cap B)
que substituït en (1) permet arribar a la igualtat que volíem demostrar
n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)
\square
Observació: Per inducció es poden demostrar altres propietats que es desprenen d'aquesta que acabem de demostrar, tot generalitzant-la, per exemple:
n(A \cup B \cup C) = \ldots
= n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)
Totes aquestes propietats són molt útils per al càlcul de probabilitats.
No hay comentarios:
Publicar un comentario
Gracias por tus comentarios