Demostrar ( formalmente ) que el valor del límite es ...

ENUNCIADO: ´
Demostrar que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}\,x^2=4$, mediante el procedimiento de $\varepsilon$ y $\delta$.

SOLUCIÓN:
Hay que demostrar que dado $\varepsilon \prec 0$, existe $\delta \prec 0$ tal que $\left|x^2-4\right|\prec \varepsilon$ para $\left|x^2-4\right|\prec \delta$.
Entonces, como $\left|x-2\right| \prec \delta$, podemos escribir
$-\delta \prec x-2 \prec \delta$
$\Leftrightarrow -\delta + 2 \prec x-2+2 \prec \delta +2$
  $\Leftrightarrow -\delta+2 \prec x \prec \delta+2$
    $\Leftrightarrow (-\delta+2)^2 \prec x^2 \prec (\delta+2)^2$
      $\Leftrightarrow \delta^2-4\delta+4 \prec x^2 \prec \delta^2+4\delta+4$
        $\Leftrightarrow \delta^2-4\delta+4-4 \prec x^2-4 \prec \delta^2+4\delta+4-4$
          $\Leftrightarrow \delta^2-4\delta \prec x^2-4 \prec \delta^2+4\delta$     (1)

Ahora bien, si $\delta \prec 1$, $\delta^2 \prec \delta$, luego $\delta^2+4\delta \prec \delta + 4\delta =5\delta$; y $\delta^2-4\delta \succ -\delta^2-4\delta \succ -\delta - 4\delta=5\delta$.

Así, de (1), podemos escribir: $-5\delta \prec x^2-4 \prec 5\delta$. Y, tomando, $\delta:=\dfrac{\varepsilon}{5}$, llegamos a $-\varepsilon \prec x^2-4 \prec \varepsilon$; esto es, $\left|x^2-4\right|\prec \varepsilon$. $\square$

[nota del autor]