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miércoles, 15 de abril de 2015

Sean las siguientes rectas de \mathbb{R}^3 ...

ENUNCIADO:
Sean las siguientes rectas de \mathbb{R}^3:
r:\left\{\begin{matrix} x &= &\lambda \\ y &= &-\lambda+1 \\ x &= &1 \\ \end{matrix}\right. y s:\left\{\begin{matrix} x &= &\mu+1 \\ y &= &\mu \\ x &= &0 \\ \end{matrix}\right.
¿ Se intersecan ?

SOLUCIÓN:
Los vectores de posición de los puntos que pertencen a r son de la forma (\lambda\,,\,-\lambda+1\,,\,1)\; \forall \lambda \in \mathbb{R} y los vectores de los puntos de posición que están sobre s son (\mu+1\,,\,\mu\,,\,0)\; \forall \mu \in \mathbb{R}. Supongamos que haya puntos de intersección de ambas rectos, entonces deberá cumplirse que (\lambda\,,\,-\lambda+1\,,\,1)=(\mu+1\,,\,\mu\,,\,0) y por tanto el siguiente sistema de ecuaciones debe ser compatible,
\left\{\begin{matrix} \lambda &=&\mu+1 \\ -\lambda+1 &=&\mu&\\ 1&=&0 \end{matrix}\right.
ahora bien, de la última ecuación ( absurdo ) concluimos que es incompatible ( no existe solución ), luego debemos concluir que las rectas r y s no se intersecan. \square

[nota del autor]

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