Sean las siguientes rectas de $\mathbb{R}^3$ ...

ENUNCIADO:
Sean las siguientes rectas de $\mathbb{R}^3$:
$r:\left\{\begin{matrix}
x &= &\lambda \\
y &= &-\lambda+1 \\
x &= &1 \\
\end{matrix}\right.$ y $s:\left\{\begin{matrix}
x &= &\mu+1 \\
y &= &\mu \\
x &= &0 \\
\end{matrix}\right.$
¿ Se intersecan ?

SOLUCIÓN:
Los vectores de posición de los puntos que pertencen a $r$ son de la forma $(\lambda\,,\,-\lambda+1\,,\,1)\; \forall \lambda \in \mathbb{R}$ y los vectores de los puntos de posición que están sobre $s$ son $(\mu+1\,,\,\mu\,,\,0)\; \forall \mu \in \mathbb{R}$. Supongamos que haya puntos de intersección de ambas rectos, entonces deberá cumplirse que $(\lambda\,,\,-\lambda+1\,,\,1)=(\mu+1\,,\,\mu\,,\,0)$ y por tanto el siguiente sistema de ecuaciones debe ser compatible,
$\left\{\begin{matrix}
\lambda &=&\mu+1 \\
-\lambda+1 &=&\mu&\\
1&=&0
\end{matrix}\right.$
ahora bien, de la última ecuación ( absurdo ) concluimos que es incompatible ( no existe solución ), luego debemos concluir que las rectas $r$ y $s$ no se intersecan. $\square$

[nota del autor]