Processing math: 100%

sábado, 4 de abril de 2015

Ejercicio de cálculo de la matriz inversa de una matriz regular por el método de la matriz adjunta. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Determineu la matriu inversa A^{-1} de la següent matriu regular ( no singular )
    A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix}
pel mètode de la matriu adjunta de A.

Solució:
Sabem que si A és una matriu regular ( si, i només si, el seu determinant \left|A\right| ) és no nul ).

Comprovarem, doncs, que
    \left|A\right| \neq 0
Calculem valor del determinant [ per altra banda, necessitarem més endavant el valor del determinant de A, tal i com explicarem de seguida ]:

    \left|A\right|=\begin{vmatrix}1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 3 \\ \end{vmatrix}
desenvolupant pels adjunts d'alugna fila/columna( mètode de Laplace ); concretament, escollirem la primera fila ( aprofitant que un dels coeficients és zero per estalviar-nos feina de càlcul ), trobant que
    \left|A\right|=\begin{vmatrix}1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 3 \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 4 & 3 \\ \end{vmatrix}-(-2=\,\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{vmatrix}=-5+2\cdot (9-4)=5

    A^{-1}=\dfrac{\text{Adj}(A^t)}{\left|A\right|}
que, de manera equivalent, també es pot esciure així
    A^{-1}=\dfrac{\big(\text{Adj}\big)^t}{\left|A\right|}
atès que \text{Adj}(A^t)=\big(\text{Adj}(A)\big)^t
on els coeficients \alpha_{ij} de la matriu \text{Adj}(A) són de la forma
    \alpha_{ij}=(-1)^{i+j}\,m_{ij}
essent m_{ij} el el determinant que s'obté de la matriu que resulta de suprimer la i-èssima fila i la j-èssima columna de a_{ij} ( menor complementari de a_{ij} )

Llavors
    \text{Adj}(A)=\begin{pmatrix}m_{11} & -m_{12} & m_{13} \\ -m_{21} & m_{22} & -m_{23} \\ m_{31} & -m_{32} & m_{33} \\ \end{pmatrix}

i essent els valors dels menors complementaris,

    m_{11}=\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 4 & 3 \\ \end{vmatrix}=-5
    m_{12}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{vmatrix}=5
    m_{13}=\begin{vmatrix}3 & 1 \\ 2 & 4 \\ \end{vmatrix}=10

    m_{21}=\begin{vmatrix}-2 & 0 \\ 4 & 3 \\ \end{vmatrix}=-6
    m_{22}=\begin{vmatrix}1 & 0 \\ 2 & 3 \\ \end{vmatrix}=3
    m_{23}=\begin{vmatrix}1 & -2 \\ 2 & 4 \\ \end{vmatrix}=8

    m_{31}=\begin{vmatrix}-2 & 0 \\ 1 & 2 \\ \end{vmatrix}=-4
    m_{32}=\begin{vmatrix}1 & 0 \\ 3 & 2 \\ \end{vmatrix}=2
    m_{33}=\begin{vmatrix}1 & -2 \\ 3 & 1 \\ \end{vmatrix}=7

trobem que

    \text{Adj}(A)=\begin{pmatrix}-5 & -5 & 10 \\ 6 & 3 & -8 \\ -4 & -2 & 7 \\ \end{pmatrix}

i, per tant, la matriu transposa de la matriu adjunta de A és

    \big(\text{Adj}(A)\big)^t=\begin{pmatrix}-5 & 6 & -4 \\ -5 & 3 & -2 \\ 10 & -8 & 7 \\ \end{pmatrix}

Finalment, per acabar el càlcul de A^{-1}, tan sols falta dividir pel valor del determinant de A, arribant a

    A^{-1}=\dfrac{1}{5}\,\begin{pmatrix}-5 & 6 & -4 \\ -5 & 3 & -2 \\ 10 & -8 & 7 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5} \\ \\ -1 & \frac{3}{5} & -\frac{2}{5} \\\\ 2 & -\frac{8}{5} & \frac{7}{5} \\ \end{pmatrix}

Nota:     Per comprovar el resultat, tindrem en compte que s'ha de complir
    A^{-1}\,A=A\,A^{-1}=I
on I és la matriu identitat
    I=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}
Vegem-ho (per la definició del producte de multiplicació de matrius):
    \begin{pmatrix}-1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5} \\ \\ -1 & \frac{3}{5} & -\frac{2}{5} \\\\ 2 & -\frac{8}{5} & \frac{7}{5} \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ \\ 3 & 1 & 2 \\\\ 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix} = \ldots = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ \\ 0 & 1 & 0 \\ \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}
i també
    \begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ \\ 3 & 1 & 2 \\\\ 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5} \\ \\ -1 & \frac{3}{5} & -\frac{2}{5} \\\\ 2 & -\frac{8}{5} & \frac{7}{5} \\ \end{pmatrix} = \ldots = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ \\ 0 & 1 & 0 \\ \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

\square

[nota del autor]

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Gracias por tus comentarios