Ejercicio de cálculo de la matriz inversa de una matriz regular por el método de la matriz adjunta. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Determineu la matriu inversa $A^{-1}$ de la següent matriu regular ( no singular )
    $A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix}$
pel mètode de la matriu adjunta de $A$.

Solució:
Sabem que si $A$ és una matriu regular ( si, i només si, el seu determinant $\left|A\right|$ ) és no nul ).

Comprovarem, doncs, que
    $\left|A\right| \neq 0$
Calculem valor del determinant [ per altra banda, necessitarem més endavant el valor del determinant de $A$, tal i com explicarem de seguida ]:

    $\left|A\right|=\begin{vmatrix}1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 3 \\ \end{vmatrix}$
desenvolupant pels adjunts d'alugna fila/columna( mètode de Laplace ); concretament, escollirem la primera fila ( aprofitant que un dels coeficients és zero per estalviar-nos feina de càlcul ), trobant que
    $\left|A\right|=\begin{vmatrix}1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 3 \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 4 & 3 \\ \end{vmatrix}-(-2=\,\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{vmatrix}=-5+2\cdot (9-4)=5$

    $A^{-1}=\dfrac{\text{Adj}(A^t)}{\left|A\right|}$
que, de manera equivalent, també es pot esciure així
    $A^{-1}=\dfrac{\big(\text{Adj}\big)^t}{\left|A\right|}$
atès que $\text{Adj}(A^t)=\big(\text{Adj}(A)\big)^t$
on els coeficients $\alpha_{ij}$ de la matriu $\text{Adj}(A)$ són de la forma
    $\alpha_{ij}=(-1)^{i+j}\,m_{ij}$
essent $m_{ij}$ el el determinant que s'obté de la matriu que resulta de suprimer la i-èssima fila i la j-èssima columna de $a_{ij}$ ( menor complementari de $a_{ij}$ )

Llavors
    $\text{Adj}(A)=\begin{pmatrix}m_{11} & -m_{12} & m_{13} \\ -m_{21} & m_{22} & -m_{23} \\ m_{31} & -m_{32} & m_{33} \\ \end{pmatrix}$

i essent els valors dels menors complementaris,

    $m_{11}=\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 4 & 3 \\ \end{vmatrix}=-5$
    $m_{12}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{vmatrix}=5$
    $m_{13}=\begin{vmatrix}3 & 1 \\ 2 & 4 \\ \end{vmatrix}=10$

    $m_{21}=\begin{vmatrix}-2 & 0 \\ 4 & 3 \\ \end{vmatrix}=-6$
    $m_{22}=\begin{vmatrix}1 & 0 \\ 2 & 3 \\ \end{vmatrix}=3$
    $m_{23}=\begin{vmatrix}1 & -2 \\ 2 & 4 \\ \end{vmatrix}=8$

    $m_{31}=\begin{vmatrix}-2 & 0 \\ 1 & 2 \\ \end{vmatrix}=-4$
    $m_{32}=\begin{vmatrix}1 & 0 \\ 3 & 2 \\ \end{vmatrix}=2$
    $m_{33}=\begin{vmatrix}1 & -2 \\ 3 & 1 \\ \end{vmatrix}=7$

trobem que

    $\text{Adj}(A)=\begin{pmatrix}-5 & -5 & 10 \\ 6 & 3 & -8 \\ -4 & -2 & 7 \\ \end{pmatrix}$

i, per tant, la matriu transposa de la matriu adjunta de $A$ és

    $\big(\text{Adj}(A)\big)^t=\begin{pmatrix}-5 & 6 & -4 \\ -5 & 3 & -2 \\ 10 & -8 & 7 \\ \end{pmatrix}$

Finalment, per acabar el càlcul de $A^{-1}$, tan sols falta dividir pel valor del determinant de $A$, arribant a

    $A^{-1}=\dfrac{1}{5}\,\begin{pmatrix}-5 & 6 & -4 \\ -5 & 3 & -2 \\ 10 & -8 & 7 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5} \\ \\ -1 & \frac{3}{5} & -\frac{2}{5} \\\\ 2 & -\frac{8}{5} & \frac{7}{5} \\ \end{pmatrix}$

Nota:     Per comprovar el resultat, tindrem en compte que s'ha de complir
    $A^{-1}\,A=A\,A^{-1}=I$
on $I$ és la matriu identitat
    $I=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$
Vegem-ho (per la definició del producte de multiplicació de matrius):
    $\begin{pmatrix}-1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5} \\ \\ -1 & \frac{3}{5} & -\frac{2}{5} \\\\ 2 & -\frac{8}{5} & \frac{7}{5} \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ \\ 3 & 1 & 2 \\\\ 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix} = \ldots = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ \\ 0 & 1 & 0 \\ \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} $
i també
    $ \begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ \\ 3 & 1 & 2 \\\\ 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5} \\ \\ -1 & \frac{3}{5} & -\frac{2}{5} \\\\ 2 & -\frac{8}{5} & \frac{7}{5} \\ \end{pmatrix} = \ldots = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ \\ 0 & 1 & 0 \\ \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} $

$\square$

[nota del autor]