Enunciat:
Determineu la matriu inversa A^{-1} de la següent matriu regular ( no singular )
A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix}
pel mètode de la matriu adjunta de A.
Solució:
Sabem que si A és una matriu regular ( si, i només si, el seu determinant \left|A\right| ) és no nul ).
Comprovarem, doncs, que
\left|A\right| \neq 0
Calculem valor del determinant [ per altra banda, necessitarem més endavant el valor del determinant de A, tal i com explicarem de seguida ]:
\left|A\right|=\begin{vmatrix}1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 3 \\ \end{vmatrix}
desenvolupant pels adjunts d'alugna fila/columna( mètode de Laplace ); concretament, escollirem la primera fila ( aprofitant que un dels coeficients és zero per estalviar-nos feina de càlcul ), trobant que
\left|A\right|=\begin{vmatrix}1 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 3 \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 4 & 3 \\ \end{vmatrix}-(-2=\,\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{vmatrix}=-5+2\cdot (9-4)=5
A^{-1}=\dfrac{\text{Adj}(A^t)}{\left|A\right|}
que, de manera equivalent, també es pot esciure així
A^{-1}=\dfrac{\big(\text{Adj}\big)^t}{\left|A\right|}
atès que \text{Adj}(A^t)=\big(\text{Adj}(A)\big)^t
on els coeficients \alpha_{ij} de la matriu \text{Adj}(A) són de la forma
\alpha_{ij}=(-1)^{i+j}\,m_{ij}
essent m_{ij} el el determinant que s'obté de la matriu que resulta de suprimer la i-èssima fila i la j-èssima columna de a_{ij} ( menor complementari de a_{ij} )
Llavors
\text{Adj}(A)=\begin{pmatrix}m_{11} & -m_{12} & m_{13} \\ -m_{21} & m_{22} & -m_{23} \\ m_{31} & -m_{32} & m_{33} \\ \end{pmatrix}
i essent els valors dels menors complementaris,
m_{11}=\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 4 & 3 \\ \end{vmatrix}=-5
m_{12}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{vmatrix}=5
m_{13}=\begin{vmatrix}3 & 1 \\ 2 & 4 \\ \end{vmatrix}=10
m_{21}=\begin{vmatrix}-2 & 0 \\ 4 & 3 \\ \end{vmatrix}=-6
m_{22}=\begin{vmatrix}1 & 0 \\ 2 & 3 \\ \end{vmatrix}=3
m_{23}=\begin{vmatrix}1 & -2 \\ 2 & 4 \\ \end{vmatrix}=8
m_{31}=\begin{vmatrix}-2 & 0 \\ 1 & 2 \\ \end{vmatrix}=-4
m_{32}=\begin{vmatrix}1 & 0 \\ 3 & 2 \\ \end{vmatrix}=2
m_{33}=\begin{vmatrix}1 & -2 \\ 3 & 1 \\ \end{vmatrix}=7
trobem que
\text{Adj}(A)=\begin{pmatrix}-5 & -5 & 10 \\ 6 & 3 & -8 \\ -4 & -2 & 7 \\ \end{pmatrix}
i, per tant, la matriu transposa de la matriu adjunta de A és
\big(\text{Adj}(A)\big)^t=\begin{pmatrix}-5 & 6 & -4 \\ -5 & 3 & -2 \\ 10 & -8 & 7 \\ \end{pmatrix}
Finalment, per acabar el càlcul de A^{-1}, tan sols falta dividir pel valor del determinant de A, arribant a
A^{-1}=\dfrac{1}{5}\,\begin{pmatrix}-5 & 6 & -4 \\ -5 & 3 & -2 \\ 10 & -8 & 7 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5} \\ \\ -1 & \frac{3}{5} & -\frac{2}{5} \\\\ 2 & -\frac{8}{5} & \frac{7}{5} \\ \end{pmatrix}
Nota: Per comprovar el resultat, tindrem en compte que s'ha de complir
A^{-1}\,A=A\,A^{-1}=I
on I és la matriu identitat
I=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}
Vegem-ho (per la definició del producte de multiplicació de matrius):
\begin{pmatrix}-1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5} \\ \\ -1 & \frac{3}{5} & -\frac{2}{5} \\\\ 2 & -\frac{8}{5} & \frac{7}{5} \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ \\ 3 & 1 & 2 \\\\ 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix} = \ldots = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ \\ 0 & 1 & 0 \\ \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}
i també
\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ \\ 3 & 1 & 2 \\\\ 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1 & \frac{6}{5} & -\frac{4}{5} \\ \\ -1 & \frac{3}{5} & -\frac{2}{5} \\\\ 2 & -\frac{8}{5} & \frac{7}{5} \\ \end{pmatrix} = \ldots = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ \\ 0 & 1 & 0 \\ \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}
\square
No hay comentarios:
Publicar un comentario
Gracias por tus comentarios