Considérese una recta ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu una recta $r$ de $\mathbb{R}^3$ (espai vectorial afí) que ve donada per la intersecció del següent parell de plans:
    $r:\,\,\left\{\begin{matrix}\pi_1:\;\; x+y+z-1=0\\\\\pi_2:\;\;x+2y+3z+5=0\end{matrix}\right.$
Justifiqueu que la dimensió del subespai vectorial associat a la recta és $1$ i determineu un vector que faci de base d'aquest subespai vectorial.

Solució:
Abans de fer càlculs, cal que ens adonem que, a l'espai afí, si els plans no són paral·lels o coincidents, que no es el cas, la seva intersecció és una recta, per tant la dimensió de la recta, com a subespai de l'espai vectorial afí $\mathbb{R}^3$, ha de ser igual a $1$ perquè, vist des d'un punt de vista físic, damunt d'aquesta tan sols hi ha un grau de llibertat. Dit això, anem a donar una justificació més formal:

Reduint el sistema per Gauss-Jordan veiem que es compatible indeterminat, amb dues de les seves variables depenent d'un sol paràmetre (la tercera variable), per a la qual escollirem, per exemple, $z$, donant-li així el paper de paràmetre; l'anomenem $\lambda$.

Llavors,
    $r:\,\,\left\{\begin{matrix} x&\,&\,&\;\;&=&-4-5\lambda\\\\&\,&\,&y&=&4\lambda+5\end{matrix}\right.$
D'on es fa palès que el rang del sistema d'equacions es $r=2$ y, per tant, la dimensió del subespai vectorial associat a la recta és igual a $n-r=3-2=1$, tal i com volíem demostrar.
Del sistema reduït obtenim les equacions de la recta en funció del paràmetre $\lambda$:
    $r:\,\,\left\{\begin{matrix} \dfrac{x+4}{-5}=\lambda\\\\\dfrac{y-5}{4}=\lambda\\\\ z=\lambda\end{matrix}\right.$
Escrivint, ara, l'equació de la recta en forma contínua arribem a
    $\dfrac{x-(-4)}{-5}=\dfrac{y-5}{4}=\dfrac{z-0}{1}$
d'on, dels denominadors, trobem que un vector director de $r$ es $(-5,4,1)$, que podem prendre com a base del subespai vectorial que representa la recta $r$: tot vector damunt d'aquesta recta és proporcional $(-5,4,1)$, és a dir, es combinació lineal d'aquest, i per tant una base de l'espai vectorial associat a la recta és $\mathcal{B}_r=\{(-5,4,1)\}$
$\square$

[nota del autor]