Integrales impropias

I. Caso de tener un recinto de integración infinito
Consideremos el siguiente problema de cálculo del "área bajo la curva" $$\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\,\dfrac{1}{x^2}\,dx$$ Tal como podemos ver en la figura, el recinto de integración es en este caso infinito, lo cual le confiere el caracter problemático a dicha integral

Sin embargo, podemos resolver este problema si existe el siguiente límite $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\,\int_{1}^{x}\,f(t)\,dt$$ al cual denominaremos "integral impropia". En este caso, dicho límite existe: $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\,\int_{1}^{x}\,f(t)\,dt=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,(1-1/x)=1-1/+\infty=1-0=1$$ por lo que podemos decir que el valor de la integral pedida es $$\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\,\dfrac{1}{x^2}\,dx=1$$


II. Caso de una función no acotada en el dominio de integración.
Puede suceder que una función $f$ no esté acotada en el dominio de integración $[a,b]$, en cuyo caso pudiera ser que no existiese la integral $\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx$. Sin embargo, es posible que sí sea integrable si procedemos de manera similar al caso I.

Consideremos, por ejemplo, la siguiente integral $$\displaystyle \int_{0}^{1}\,\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx$$ Es claro que la función $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ no está acotada en el intervalo $[0,1]$; basta con examinar el comportamiento de la función cerca del cero:

No obstante, existe el límite $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}\,\int_{x}^{1}\,\dfrac{1}{\sqrt{t}}\,dt=\lim_{x\rightarrow 0^+}\,(2-2\sqrt{x})=2$$ y por tanto existe la integral impropia ( en este caso por no estar acotada la función en el recinto de integración ) y por tanto $$\displaystyle \int_{0}^{1}\,\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2$$