Integración de funciones trigonométricas

I) Las integrales trigonométricas de los tipos:
$$\int\,\sin(\alpha x)\cdot \sin(\beta x)\,dx$$ $$\int\,\sin(\alpha x)\cdot \cos(\beta x)\,dx$$ $$\int\,\cos(\alpha x)\cdot \cos(\beta x)\,dx$$ se resuelven fácilmente transformando los productos (que aparecen en el integrando) en sumas, mediante las siguientes identidades trigonométricas: $$\sin(\alpha x)\cdot \sin(\beta x)=\dfrac{1}{2}\,\left( \cos(\alpha-\beta)x-\cos(\alpha x+\beta x)\right)$$ $$\sin(\alpha x)\cdot \cos(\beta x)=\dfrac{1}{2}\,\left( \sin(\alpha-\beta)x+\sin(\alpha x+\beta x)\right)$$ $$\cos(\alpha x)\cdot \cos(\beta x)=\dfrac{1}{2}\,\left( \cos(\alpha-\beta)x+\cos(\alpha x+\beta x)\right)$$

EJEMPLO I.1 Nos proponemos calcular la integral $I=\displaystyle \sin\,\sin(2x)\,\sin(3x)\,dx$. Teniendo en cuenta que $\sin\,\sin(2x)\,\sin(3x)=\dfrac{1}{2}\,\left( \cos\,(2x-3x)-\cos(2x+3x)\right)=$
$=\dfrac{1}{2}\,(\cos(-x)-\cos(5x))=\dfrac{1}{2}\,(\cos(x)-\cos(5x))$, podemos escribir $$I=\dfrac{1}{2}\,\left( \int\,\cos\,x\,dx-\int\,\cos(5x)\,dx \right)=\dfrac{1}{2}\,\left( \sin\,x-\dfrac{1}{5}\,\sin(5x)\right)+C$$


II.a) Las integrales del tipo $\displaystyle \int\,R(\sin\,x,\cos\,x)\,dx$ ( donde $R$ representa una funcion racional ) se pueden resolver haciendo el cambio de variable $t=\tan\,(x/2)$

II.b) Las integrales de un tipo tal que $R(\sin\,x,-\cos\,x)=-R(\sin\,x,\cos\,x$ ( donde, como en el caso anterior, $R$ representa una funcion racional ) se pueden resolver haciendo el cambio de variable $t=\sin\,x$

II.c) Las integrales de un tipo tal que $R(-\sin\,x,\cos\,x)=-R(\sin\,x,\cos\,x$ ( donde, como en los casos anteriores, $R$ representa una funcion racional ) se pueden resolver haciendo el cambio de variable $t=\cos\,x$

II.d) Las integrales de un tipo tal que $R(-\sin\,x,-\cos\,x)=R(\sin\,x,\cos\,x$ ( donde, como en los casos anteriores, $R$ representa una funcion racional ) se pueden resolver haciendo el cambio de variable $t=\tan\,x$

III) Las integrales del tipo $\displaystyle \int\,\sin^{m}\,x\,\cos^{n}\,x\,dx$, se resuelven de las siguientes maneras:
  III.a) Si $m$ es impar, se realiza el cambio de variable $t=\cos\,x$, y, mediante la identidad fundamental de la trigonometría, la sustitución de $\sin^2\,x$ por $1-\cos^2\,x$
  III.b) Si $n$ es impar, se realiza el cambio de variable $t=\sin\,x$, y, mediante la identidad fundamental de la trigonometría, la sustitución de $\cos^2\,x$ por $1-\sin^2\,x$

Nota: Cuando sea posible, y de manera previa, es recomendable utilizar las siguientes identidades trigonométricas: $\sin^2\,x=\dfrac{1}{2}\,(1-\cos\,2x)$ y $\cos^2\,x=\dfrac{1}{2}\,(1+\cos\,2x)$, pues facilitan mucho las cosas, e incluso, en según qué casos, basta con eso para transformar las integrales con potencias de razones trigonométricas al cuadrado en integrales de razones del ángulo doble.

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Referencias:
M. L. Calle, R. Vendrel, Problemes d'àlgebra lineal i càlcul infinitesimal, Eumo Editorial, Barcelona, 1992

N. Piskunov, Cálculo diferencial e integral, Montaner y Simon, S.A., Barcelona, 1978