Un ejercicio de cálculo de primitivas

ENUNCIADO. Calcúlese la integral intefinida $$\int\dfrac{x+1}{x^2+3x+4}\,dx$$

Observación/sugerencia: Téngase en cuenta que el polinomio del denominador tiene raíces complejas, pues el discriminante de la ecuación $x^2+3x+4=0$ es negativo $\Delta=3^3-4\cdot 1\cdot 4 \prec 0$, por lo que en este caso, es evidente que no sirve de nada intentar descomponer la fracción algebraica del integrando en suma de fracciones más sencillas para facilitar de este modo la integración; en efecto, $$\dfrac{x+1}{x^2+3x+4}=\dfrac{Mx+N}{x^2+3x+4}$$ conduce a $M=N=1$ y por tanto al punto de partida.

Si bien ese camino ya no podemos seguirlo, debemos tener en cuenta que como el polinomio del numerador está rebajado en $1$ grado con respecto del polinomio del denominador, podemos recurrir a la siguiente propiedad $$\int\,\dfrac{u(x)}{v(x)}\,dx=\ln|v(x)|+C \; \text{si}\; (v(x))'=u(x) \quad \quad$$

SOLUCIÓN. Siguiendo la sugerencia, y teniendo en cuenta que $(x^2+3x+4)'=2x+3$, escribiremos el numerador $x+1$ de la siguiente forma equivalente $$x+1=\dfrac{1}{2}(2x+2)=\dfrac{1}{2}(2x+3-3+2)=\dfrac{1}{2}(2x+3-1)$$ con lo cual la integral pedida la podemos expresar de la forma $$\dfrac{1}{2}\int\dfrac{2x+3-1}{x^2+3x+4}\,dx$$ y por tanto de la siguiente manera $$\dfrac{1}{2}\int\dfrac{2x+3}{x^2+3x+4}\,dx-\dfrac{1}{2}\,\int\,\dfrac{1}{x^2+3x+4}\,dx \quad \quad (2)$$

La primera integral de la expresión (2) ( prescindiendo del coeficiente $\dfrac{1}{2}$ ), que denotaremos por $I_1$, es inmediata si utilizamos la propiedad (1): $$I_1=\ln\;(x^2+3x+4)+C_1$$ Nota: Aquí, como la función $x^2+3x+4\succ 0$ para todo $x\in \mathbb{R}$, no es necesario poner las barras de valor absoluto en el argumento del logaritmo.

La segunda integral de la expresión (2) ( prescindiendo del coeficiente $\dfrac{1}{2}$ ), que denotaremos por $I_2$ es semi inmediata, habida cuenta que se asemeja a la integral inmediata que lleva al arco tangente: $\displaystyle \int\,\dfrac{1}{1+t^2}\,dt=\arctan\,t+C$. Veámoslo:

$\displaystyle I_2=\int\,\dfrac{1}{x^2+3x+4}\,dx=\int\,\dfrac{1}{(x+3/2)^2-(3/2)^2+4}\,dx=\int\,\dfrac{1}{(x+3/2)^2+7/4}\,dx=$

$\displaystyle=\int\,\dfrac{1}{u^2+7/4}\,du$   [Haciendo el cambio de variable (c.v.) $x+3/2=u \Rightarrow du = dx$]

$\displaystyle=\dfrac{4}{7}\int\,\dfrac{1}{\dfrac{4}{7}u^2+1}\,du=\dfrac{4}{7}\int\,\dfrac{1}{\left(\dfrac{2}{\sqrt{7}}u\right)^2+1}\,du=$

$\displaystyle=\dfrac{4}{7}\cdot \dfrac{\sqrt{7}}{2}\int\,\dfrac{1}{w^2+1}\,dw$   [c.v.: $\dfrac{2}{\sqrt{7}}\,u=w \Rightarrow du = \dfrac{\sqrt{7}}{2}\,dw$]

$\displaystyle=\dfrac{2\,\sqrt{7}}{7}\,\arctan\,w+C_2$

$\displaystyle=\dfrac{2\,\sqrt{7}}{7}\,\arctan\,\dfrac{2}{\sqrt{7}}\,u+C_2$   [ Deshaciendo el segundo cambio de variable ]

$\displaystyle=\dfrac{2\,\sqrt{7}}{7}\,\arctan\,\left(\dfrac{2}{\sqrt{7}}\,(x+3/2)\right)+C_2$   [ Deshaciendo el primer cambio de variable ]

Por consiguiente, reuniendo los resultados de $I_1$ e $I_2$:
$\int\dfrac{x+1}{x^2+3x+4}\,dx=$
    $=\dfrac{1}{2}\,\left(\ln\;(x^2+3x+4)+C_1\right)-\dfrac{1}{2}\,\left( \dfrac{2\,\sqrt{7}}{7}\,\arctan\,\left(\dfrac{2}{\sqrt{7}}\,(x+3/2)\right)+C_2\right)$
o lo que es lo mismo: $$\int\dfrac{x+1}{x^2+3x+4}\,dx=\dfrac{1}{2}\,\ln\;(x^2+3x+4)-\dfrac{\sqrt{7}}{7}\,\arctan\,\left(\dfrac{2}{\sqrt{7}}\,(x+3/2)\right)+C$$
$\square$