Ejemplo de integral definida que hay que calcular a tramos

ENUNCIADO. Calcúlese la siguiente integral definida $$\int_{-1}^{3} |x|\,dx$$

SOLUCIÓN. Hay que tener en cuenta la definición de la función de valor absoluto de $x$, que aparece en el integrando:
$$|x|=\left\{\begin{matrix}x&\text{si}& x\ge 0\\-x &\text{si}& x \prec 0 \end{matrix}\right.$$ Por consiguiente,

$\displaystyle \int_{-1}^{3} |x|\,dx=$
  $=\displaystyle \int_{-1}^{0} (-x)\,dx+\int_{0}^{3} x\,dx$
    $=\left[-\dfrac{1}{2}\,x^2\right]_{-1}^{0}+\left[\dfrac{1}{2}\,x^2\right]_{0}^{3} $
      $=\left(-\dfrac{1}{2}\cdot 0^2-(-1/2)\cdot (-1)^2\right)+\left(\dfrac{1}{2}\cdot 3^2-\dfrac{1}{2}\cdot 0^2\right)$
        $=\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{2}$
          $=\dfrac{10}{2}$
            $=5$
$\square$