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martes, 19 de marzo de 2019

Ejemplo de integral definida que hay que calcular a tramos

ENUNCIADO. Calcúlese la siguiente integral definida \int_{-1}^{3} |x|\,dx


SOLUCIÓN. Hay que tener en cuenta la definición de la función de valor absoluto de x, que aparece en el integrando:
|x|=\left\{\begin{matrix}x&\text{si}& x\ge 0\\-x &\text{si}& x \prec 0 \end{matrix}\right.
Por consiguiente,

\displaystyle \int_{-1}^{3} |x|\,dx=
  =\displaystyle \int_{-1}^{0} (-x)\,dx+\int_{0}^{3} x\,dx
    =\left[-\dfrac{1}{2}\,x^2\right]_{-1}^{0}+\left[\dfrac{1}{2}\,x^2\right]_{0}^{3}
      =\left(-\dfrac{1}{2}\cdot 0^2-(-1/2)\cdot (-1)^2\right)+\left(\dfrac{1}{2}\cdot 3^2-\dfrac{1}{2}\cdot 0^2\right)
        =\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{2}
          =\dfrac{10}{2}
            =5
\square

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