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jueves, 14 de marzo de 2019

Cálculo de primitivas de algunas funciones irracionales

Nota preliminar.
Lo siguiente se consideran de ampliación ( de los contenidos de integración ) en el ámbito del bachillerato

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I) Las integrales del tipo \displaystyle \int R \left(x,\left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)^{m_{1}/n_{1}},\ldots,\left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)^{m_{k}/n_{k}}\right)\,dx, donde R denota una función racional, se pueden resolver mediante el cambio de variable y^n=\dfrac{ax+b}{cx+d}, siendo n=\text{m.c.m}(\{n_1,\ldots,n_k\})

II) Las integrales binomicas \displaystyle \int\,x^{p}\,(ax^q+b)^r\,dx, donde p,q,r son números racionales, se resuelven haciendo el cambio de variable t=x^q, siempre que r,\dfrac{p+1}{q} o bien r+\dfrac{p+1}{q} sean números enteros.

III) El cambio de variable x=a\,\sin\,t suele funcionar con las integrales del tipo \int\,R(x,\sqrt{a^2-x^2})\,dx

IV) El cambio de variable x=\dfrac{a}{\sin\,t} suele funcionar con las integrales del tipo \int\,R(x,\sqrt{x^2-a^2})\,dx

V) El cambio de variable x=a\,\tan\,t suele funcionar con las integrales del tipo \int\,R(x,\sqrt{a^2+x^2})\,dx

VI) El cambio de variable y=x+\alpha, despues de transformar ax^2+bx+c en la forma a(x+\alpha)^2+\beta^2, suele funcionar con las integrales del tipo \int\,R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx

VII) Las integrales del tipo \displaystyle \int\,\dfrac{P_{n}(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\,dx, siendo P_{n}(x) un polinomio de grado n, se transforman en alguna de las anteriores haciendo la descomposición \displaystyle \int\,\dfrac{P_{n}(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\,dx=Q_{n-1}(x)\,\sqrt{ax^2+bx+c}+\int\,\dfrac{A}{ax^2+bx+c}\,dx \quad (1)
donde Q_{n-1}(x) es un polinomio de grado n-1 con coeficientes indeterminados. Los coeficientes de Q_{n-1} así como el coeficiente A se determinan derivando (1) en ambos miembros.

VIII) Las integrales del tipo \displaystyle \int \dfrac{dx}{(\alpha\,x+\beta)^{n}\,\sqrt{ax^2+bx+c}}\,dx donde n es un número real, se tranforman en una integral de alguno de los tipos anteriores mediante el cambio de variable t=\dfrac{1}{\alpha\,x+\beta}

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Referencias:
M. L. Calle, R. Vendrel, Problemes d'àlgebra lineal i càlcul infinitesimal, Eumo Editorial, Barcelona, 1992

N. Piskunov, Cálculo diferencial e integral, Montaner y Simon, S.A., Barcelona, 1978

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