Primitivas que no son expresables como una combinación finita de funciones elementales

Una función real de una variable real $f(x)$, continua en $(a,b)$ tiene en este intervalo una función primitiva $F(x)$ tal que $F'(x)=f(x)$ ( primer teorema fundamental del cálculo ). Ahora bien, no toda función primitiva, aunque exista, puede expresarse mediante un número finito de combinaciones de funciones elementales. Algunos ejemplos de funciones primitivas de este tipo correspondientes a las integrales que se indican son:
$$\int e^{-x^2}\,dx$$ $$\int \dfrac{\sin\,x}{x}\,dx$$ $$\int \dfrac{\cos\,x}{x}\,dx$$ $$\int \sqrt{1-k^2\,\sin^{2}\,x}\,dx$$ $$\int \dfrac{dx}{\ln\,x}$$ además de las integrales binómicas $\int\,x^{m}\,(a+b\,x^{n})^{p}\,dx$, tales que no sean de alguno de los siguientes tipos ( teorema de Chebyshov ): i) $p\in \mathbb{Z}$, ii) $\dfrac{m+1}{n}\in \mathbb{Z}$ y iii) $\dfrac{m+1}{n}+ p \in \mathbb{Z}$

Referencias:
N. Piskunov, Cálculo diferencial e integral, Montaner y Simon, S.A., Barcelona, 1978