Continuidad

ENUNCIADO.
(a) Calcúlese el valor de $k$ para que se pueda aplicar el teorema de los valores intermedios ( Darboux ) a la siguiente función en el intervalo $[-1,4]$ $$f(x)=\left\{\begin{matrix}3x^2-2x+k & \text{si} & -1\le x\le 2\\ \dfrac{6x-2}{2x+1}& \text{si}& 2 \prec x \le 4\end{matrix}\right.$$
(b) En tales condiciones, ¿ entre qué valores se encuentran los valores de función ?


SOLUCIÓN.
(a) Como en el resto de teoremas de continuidad, la condición suficiente para que se cumpla el teorema de Darbox es que la función $f(x)$ sea continua en el intervalo en cuestión. Los dos tramos por separado de la función dada son continuos, y, el único problema podria aparecer en $x=2$. Estudiemos pues la continuidad en $x=2$. La función está definida en $x=2$, calculemos los límites laterales $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}}\,f(x)$ y $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{+}}\,f(x)$
Vemos que dichos límites existen y sus valores son:
$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow 2}\,(3x^2-2x+k)=8+k$$ y
$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{+}}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow 2}\,\dfrac{6x-2}{2x+1}=2$$
Para que la función sea continua, y por tanto para que sea aplicable el teorema de Darboux, los valores de los límites laterales han de ser iguales, luego $$8+k=2 \Rightarrow k=-6$$

(b) En las condiciones de aplicación del teorema de Darboux, los valores de función están comprendidos entre $\left( 3x^2-2x-6\right)_{x=-1}=-1$ y $\left(\dfrac{6x-2}{2x+1}\right)_{x=4}=\dfrac{22}{9}$
$\square$