Geometría analítica en el espacio. Lugares geométricos.

ENUNCIADO. Determinese la ecuación reducida de la superficie del hiperboloide $\mathcal{H}$ cuyos focos son $F(1,0,0)$ y $F'(-1,0,0)$, sabiendo que la diferencia de distancia de un punto genérico de la superficie a los dos focos es igual a $1$ unidad de longitud arbitraria.

NOTA. Este ejercicio puede considerarse de ampliación ( en 2.º de Bachillerato ).

SOLUCIÓN. Por la condición de lugar geométrico, $$\mathcal{H}=\{X(x,y,z):\text{dist}(X,F)-\text{dist}(X,F')=1\}$$ Así pues $$|\sqrt{(x-(-1))^2+(y-0)^2+(z-0)^2}\,|-|\sqrt{(x-1)^2+(y-0)^2+(z-0)^2}\,|=1$$ (1). Así pues $$|\sqrt{(x-(-1))^2+(y-0)^2+(z-0)^2}\,|-|\sqrt{(x-1)^2+(y-0)^2+(z-0)^2}\,|=1$$ y por tanto $$|\sqrt{(x-(-1))^2+(y-0)^2+(z-0)^2}\,|=1+|\sqrt{(x-1)^2+(y-0)^2+(z-0)^2}\,|$$ Elevando al cuadrado sendos miembros de la igualdad $$(x+1)^2+y^2+z^2=1+2\,|\sqrt{(x-1)^2+(y-0)^2+(z-0)^2}\,|+(x-1)^2+y^2+z^2$$ Simplificando, $$4x-1=2\,|\sqrt{(x-1)^2+(y-0)^2+(z-0)^2}\,|$$ Y volviendo a elevar al cuadrado los dos miembros $$(4x-1)^2=4\,((x-1)^2+y^2+z^2)$$ Simplificando, $$12x^2-4y^2-4z^2=3$$ esto es $$4x^2-\dfrac{4}{3}y^2-\dfrac{4}{3}z^2=1$$ que podemos escribir de la forma $$\dfrac{x^2}{(1/2\,)^2}-\dfrac{y^2}{(\sqrt{3/4}\,)^2}-\dfrac{z^2}{(\sqrt{3/4}\,)^2}=1$$ que corresponde a la ecuación reducida de un hipérboloide de dos hojas, pues es del tipo $$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$$. Los semiejes tienen los siguientes: $a=\dfrac{1}{2}$ y $b=c=\sqrt{\dfrac{3}{4}}$

Con la ayuda de GeoGebra, se obtiene la siguiente representación de dicha superficie:

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OBSERVACIONES:
(1) Este tipo de condiciones de lugar geométrico en el espacio -- que son generalizaciones de las que se dan en el plano para describir las cónicas -- dan lugar a una ecuación cuadrática $$Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0$$ que describe un cierto tipo de superficies en el espacio, llamadas cuádricas ( elipsoides, paraboloides, hiperboloides, cilindros, conos, ... ). En el caso de este ejercicio en concreto, la cuádrica que se ha obtenido corresponde a un hiperboloide de dos hojas.

(2) Una cónica ( ya sea una elipse, una hipérbola, o una parábola ) es la intersección de un plano con una cuádrica, por lo que las cónicas se denominan secciones cónicas.