Un ejercicio de geometría analítica

ENUNCIADO.
(a) Calcúlense las coordenadas de los vectores que sean paralelos al plano $\pi\equiv x-3y+1=0$; que sean ortogonales al vector $\vec{w}=(-1,1,1)$ y que tengan módulo $\sqrt{56}$
(b) Hállese la ecuación del plano que pasa por $P(2,-1,0)$ y tal que $\vec{w}=(-1,1,1)$ sea perpendicular al plano.
(c) Hállese el ángulo formado por la recta $r\equiv \left\{\begin{matrix}x-3y+2=0\\x-2z+1=0\end{matrix}\right.$ y el plano $\sigma\equiv x-2y+6z=-1$. Si la $r$ corta a $\sigma$, determínese el punto de corte, y si $r$ es paralela a $\sigma$ calcúlese la distancia entre la recta y el plano.

SOLUCIÓN.
(a) Denotemos de forma genérica por $\vec{u}=(x,y,z)$ a los vectores pedidos. Entonces:
i) Al ser $\vec{u}$ paralelo a $\pi$, $\vec{u} \perp \vec{n}=(1,-3,0) \Rightarrow \langle (x,y,z),(1,-3,0)\rangle =0$ y por tanto se tiene que $x-3y=0$
ii) $\vec{u} \perp \vec{w}=(-1,1,1) \Rightarrow \langle (x,y,z),(-1,1,1)\rangle = 0$ con lo cual tenemos que $-x+y+z=0$

Resolviendo el sistema formado por estas dos ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x-3y=0\\-x+y+z=0\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x=3\,\lambda\\ y:=\lambda\\z=2\,\lambda\end{matrix}\right.$$ Así obtenemos el conjunto de vectores $$\{\lambda\,(3,1,2): \lambda \in \mathbb{R}\}$$ Ahora bien, imponiendo la tercera condición:
iii) el módulo del vector pedido ha de ser igual a $\sqrt{56}$, llegamos a $$56=\lambda^2\cdot (3^2+1^2+2^2) \Rightarrow \lambda=\pm 2$$ En consecuencia, encontramos dos vectores que cumplen las tres condiciones: $\vec{u}_{1}=2\,(3,1,2)=(6,2,4)$ y $\vec{u}_{2}=(-6,-2,-4)$

-oOo-Nota 1. Otra forma de encontrar vectores que sean parelelos al plano $\pi$, esto es, perpendiculares a los vectores característicos del mismo, tal como $(1,-3,0)$ ), y perpendiculares también al vector $\vec{w}=(-1,1,1)$, pasa por calcular el vector producto vectorial $(1,-3,0) \times (-1,1,1)=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&-3&0\\-1&1&1\end{vmatrix}=(3,1,2)$ ya que sabemos que éste es perpendicular a los dos; así llegamos al conjunto de vectores $\lambda\,(3,1,2)$. Y, finalmente, imponemos la tercera condición $$\left\,\lambda\,(3,1,2)\right\|=|\sqrt{56}|$, como ya se ha explicado anteriormente, deduciendo que $\lambda=\pm\,2$, y, por tanto, encontramos los dos vectores $\vec{u}_{1}=(6,2,4)$ y $\vec{u}_{2}=(-6,-2,-4)$ como solución.

Nota 2. Como alternativa, también podemos resolver directamente el sistema de ecuaciones al que llevan las tres condiciones requeridas: $$\left\{\begin{matrix}x-3y=0\\-x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2=56\end{matrix}\right.$$ Despejando $x$ de la segunda, obtenemos $x=3y$; y, sustituyendo en la primera, llegamos a $z=2y$. Así, sustituyendo a su vez estas dos expresiones (que dependen de $y$) en la tercera ecuación, resolvemos la ecuación cuadrática $9y^2+4y^2+y^2=56$, que depende de una sóla incógnita, obteniendo $y=\pm\,2$. Por tanto, para $y=2$ concluimos que $x=6$ y $z=4$; y para $y=-2$, llegamos a $x=-6$ y $z=-4$, y de ahí, los dos vectores de la solución: $\vec{u}_{1}=(6,2,4)$ y $\vec{u}_{2}=(-6,-2,-4)$.
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(b) Como un vector característico del plano es $\vec{w}=(-1,1,1)$, podemos escribir parcialmente la ecuación general de dicho plano: $-x+y+z+C=0$ Teniendo en cuenta ahora que $P(2,-1,0)$ está en dicho plano, sus coordenadas tendran que satisfacer la ecuación del plano, luego $-2+(-1)+0+C=0 \Rightarrow C=3$. Por consiguiente, la ecuación del plano pedido es $-x+y+z+3=0$

(c) Sabemos que $\measuredangle(r,\sigma)=90^{\circ}-\measuredangle(\vec{u}_r,\vec{n})$, por lo que $$\measuredangle(r,\sigma)=\arcsin\,\dfrac{\langle \vec{u}_r,\vec{n}\rangle}{\left\| \vec{u}_r \right\|\cdot \left\| \vec{n} \right\|} \quad \quad(1)$$ donde $\vec{u}_r$ es un vector en la dirección de $r$ y $\vec{n}$ es un vector perpendicular al plano $\sigma$.

De $r\equiv \left\{\begin{matrix}x-3y+2=0\\x-2z+1=0\end{matrix}\right.$ deducimos $r\equiv \left\{\begin{matrix}x&=&-1+2\mu \\ y& =&1/3+(2/3)\,\mu\\ z&=&\mu \end{matrix}\right.$ por lo que un vector director de la recta es $(2,2/3,1) \propto (6,2,3)$, en consecuencia tomamos $\vec{u}_r:=(6,2,3)$. Por otra parte, un vector perpendicular al plano $\sigma\equiv x-2y+6z=-1$ es $\vec{n}:=(1,-2,6)$.

Entonces, de (1),
$$\measuredangle(r,\sigma)=\arcsin\,\dfrac{\langle (6,2,3),(1,-2,6)\rangle}{\left\| (6,2,3) \right\|\cdot \left\| (1,-2,6)\right\|}=\arcsin\,\dfrac{20}{7\,|\sqrt{41}|}\approx 26,5^{\circ}$$

Como el ángulo hallado no es igual a $0$ ni a $180^{\circ}$, las recta corta al plano. A continuación, determinaremos dicho punto de corte, $T$; las coordenadas del mismo constituyen la solución del sistema de ecuaciones que forman las dos ecuaciones cartesianas de la recta y la ecuación general del plano:
$$T\equiv\left\{\begin{matrix}x&-&2y&+&6z&=&-1\\x&-&3y&&&=&-2 \\ x&&&-&2z&=&-1\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&-4/5\\&&y&&&=&2/5 \\ &&&&z&=&1/10\end{matrix}\right. $$ luego las coordenadas del punto $T$ son $(-4/5,2/5,1/10)$
$\square$