Distancia de un punto a una recta

ENUNCIADO. Hállese la distancia euclídea del punto $P(0,-5,3)$ a la recta $r$ que pasa por los puntos $Q(-2,2,1)$ y $R(-2,-1,-8)$

SOLUCIÓN. Un vector director de $r$ es $\overset{\rightarrow}{QR}=(-2-(-2),-1-2,-8-1)=(0,-3,,-9)=-3\,(0,1,3)$, luego un vector en la dirección de $r$ es $\vec{u}=(0,1,3)$. Consideremos ahora el vector $\overset{\rightarrow}{PQ}=(-2-0,2-(-5),1-3)=(-2,7,-2)$.

Sabemos que $$\text{dist}(P,r)=\dfrac{ \left\| \overset{\rightarrow}{PQ} \times \vec{u} \right\| } { \left\| \vec{u} \right\| }\quad \quad (1)$$

Como $\overset{\rightarrow}{PQ} \times \vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-2&7&-2\\ 0& 1& 3\end{vmatrix}=(23,6,-2)$ su módulo es $|\sqrt{569}|$. Por otra parte, el módulo de $\vec{u}$ es $|\sqrt{10}|$. Así pues, de (1), $\text{dist}(P,r)=\left|\sqrt{\dfrac{569}{10}}\right|$ unidades de longitud.
$\square$