Cálculo de límites con indeterminaciones del tipo 1^\infty

ENUNCIADO. Calcúlese el siguiente límite $$\lim_{x\,\rightarrow\,-\infty}\,\left( \dfrac{x-2x^2+3}{-2x^2+1}\right)^{x+1}$$

SOLUCIÓN. Al pasar al límte la expresión de la base de la potencia y la expresión del exponente nos encontramos con una indeterminación del tipo $1^{\infty}$, que resolveremos empleando la siguiente propiedad $$\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}\,\left(1+\dfrac{1}{\Phi(x)}\right)^{\Phi(x)}=e$$

Procedemos a expresar convenientemente el argumento del límite, al objeto de aplicar esa propiedad. Dividiendo $x-2x^2+3$ entre $-2x^2+1$ obtenemos $C(x)=1$ y $R(x)=x+2$, por lo que podemos expresar la fracción impropia de la base de la potencia del argumento del límite de la forma $\dfrac{x-2x^2+3}{-2x^2+1}=1+\dfrac{x+2}{-2x^2+1}$, con lo cual
$\left( \dfrac{x-2x^2+3}{-2x^2+1}\right)^{x+1}=\left(\left(1+\dfrac{1}{(-2x^2+1)/(x+2)}\right)^{\dfrac{-2x^2+1}{x+2}}\right)^{(x+2)(x+1)/(-2x^2+1)}$.

Entonces $$\lim_{x\,\rightarrow\,+\infty}\,\left(1+\dfrac{1}{(-2x^2+1)/(x+2)}\right)^{\dfrac{-2x^2+1}{x+2}}=e$$ y, por otra parte,
$$\lim_{x\,\rightarrow\,+\infty}\,\dfrac{(x+2)(x+1)}{-2x^2+1}=-\dfrac{1}{2}$$

Así que aplicando la propiedad de la potencia de los límites llegamos a $$\lim_{x\,\rightarrow\,-\infty}\,\left( \dfrac{x-2x^2+3}{-2x^2+1}\right)^{x+1}=e^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$$
$\square$