SOLUCIÓN.
Asíntotas verticales.
El denominador de la función se anula para x=\pm 1 y por tanto \displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\, -1}\,f(x)=\lim_{x\,\rightarrow\, 1}\,f(x)=\pm \infty, por lo que hay dos asíntotas verticales: \text{a.v}_1\equiv x=-1 y \text{a.v}_1\equiv x=1
Asíntotas oblicuas.
Determinamos la pendiente de éstas -- en el caso de que existan -- de la forma \displaystyle m=\lim_{ x\, \rightarrow\, \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}=4, con lo cual podemos afirmar que no hay asíntotas horizontales, por ser m\neq 0; veamos ahora cuál es el valor de la ordenada en el origen: m=\lim_{ x\, \rightarrow\, \infty}\,(f(x)-4x)=0, luego hay una sóla asíntota oblicua: \text{a.o}\equiv y=4x. Las tres asíntotas encontradas se representan en la figura de abajo en líneas discontinuas.
Extremos relativos.
Imponiendo la condición necesaria, f'(x)=0, encontramos \dfrac{4x^2\,(x^2-3)}{(x^2-1)^2}=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{1}^{*}=-\sqrt{3}\Rightarrow y_{1}^{*}=-6\,\sqrt{3}\\ x_{2}^{*}=0 \Rightarrow y_{2}^{*}=0 \\x_{3}^{*}=\sqrt{3} \Rightarrow y_{3}^{*}=6\,\sqrt{3}\end{matrix}\right.
Teniendo en cuenta que f''(x)=\dfrac{8x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}, vemos que f''(-\sqrt{3})\prec 0 por lo que podemos afirmar que x_{1}^{*}=-\sqrt{3} es la abscisa de un máximo local; f''(\sqrt{3})\succ 0, luego x_{3}^{*}=\sqrt{3} es la abscisa de un mínimo local; y, como por otra parte, f''(0)=0, el criterio del signo de la segunda derivada no decide, sin embargo, podemos comprobar que a la izquierda y a la derecha de 0, f'(0)\prec 0 con lo cual x_{2}^{*}=0 es un punto de inflexión con primera derivada nula, lo cual viene corroborado por f''(0)=0. Con todo ello, ya podemos realizar una gráfica esquemática de la gráfica de la función:
de lo cual se deduce que hay dos intervalos de concavidad: (-\infty, -1) y (0,1), y dos intervalos de convexidad: (-1,0) y (1,+\infty).
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