SOLUCIÓN.
Asíntotas verticales.
El denominador de la función se anula para $x=\pm 1$ y por tanto $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\, -1}\,f(x)=\lim_{x\,\rightarrow\, 1}\,f(x)=\pm \infty$, por lo que hay dos asíntotas verticales: $\text{a.v}_1\equiv x=-1$ y $\text{a.v}_1\equiv x=1$
Asíntotas oblicuas.
Determinamos la pendiente de éstas -- en el caso de que existan -- de la forma $\displaystyle m=\lim_{ x\, \rightarrow\, \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}=4$, con lo cual podemos afirmar que no hay asíntotas horizontales, por ser $m\neq 0$; veamos ahora cuál es el valor de la ordenada en el origen: $m=\lim_{ x\, \rightarrow\, \infty}\,(f(x)-4x)=0$, luego hay una sóla asíntota oblicua: $\text{a.o}\equiv y=4x$. Las tres asíntotas encontradas se representan en la figura de abajo en líneas discontinuas.
Extremos relativos.
Imponiendo la condición necesaria, $f'(x)=0$, encontramos $$\dfrac{4x^2\,(x^2-3)}{(x^2-1)^2}=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{1}^{*}=-\sqrt{3}\Rightarrow y_{1}^{*}=-6\,\sqrt{3}\\ x_{2}^{*}=0 \Rightarrow y_{2}^{*}=0 \\x_{3}^{*}=\sqrt{3} \Rightarrow y_{3}^{*}=6\,\sqrt{3}\end{matrix}\right.$$
Teniendo en cuenta que $f''(x)=\dfrac{8x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}$, vemos que $f''(-\sqrt{3})\prec 0$ por lo que podemos afirmar que $x_{1}^{*}=-\sqrt{3}$ es la abscisa de un máximo local; $f''(\sqrt{3})\succ 0$, luego $x_{3}^{*}=\sqrt{3}$ es la abscisa de un mínimo local; y, como por otra parte, $f''(0)=0$, el criterio del signo de la segunda derivada no decide, sin embargo, podemos comprobar que a la izquierda y a la derecha de $0$, $f'(0)\prec 0$ con lo cual $x_{2}^{*}=0$ es un punto de inflexión con primera derivada nula, lo cual viene corroborado por $f''(0)=0$. Con todo ello, ya podemos realizar una gráfica esquemática de la gráfica de la función:
de lo cual se deduce que hay dos intervalos de concavidad: $(-\infty, -1)$ y $(0,1)$, y dos intervalos de convexidad: $(-1,0)$ y $(1,+\infty)$.
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