Cálculo de límites

ENUNCIADO.
(a) Calcúlese el siguiente límite: $$\lim_{x\,\rightarrow\,+\infty}\,\dfrac{\sqrt{x-2}-2}{x^2-6x}$$
(b) Calcúlese el siguiente límite: $$\lim_{x\,\rightarrow\,6}\,\dfrac{\sqrt{x-2}-2}{x^2-6x}$$

SOLUCIÓN.
(a)
Al pasar al límite, $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,+\infty}\,\dfrac{\sqrt{x-2}-2}{x^2-6x}$, nos encontramos con una indeterminación del tipo $\dfrac{\infty}{\infty}$. Dividiendo numerador y denominador por $x^2$ podremos resolver este tipo de indeterminación:

$\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,+\infty}\,\dfrac{\sqrt{x-2}-2}{x^2-6x}=\lim_{x\,\rightarrow\,+\infty}\,\dfrac{\sqrt{1/x^3-2/x^4}-2/x^2}{1-6/x}=\dfrac{0}{1-0}=0$

Observación: También hubiésemos podido utilizar la regla de l'Hôpital, si bien, en este caso, la técnica empleada es la más eficiente.


(b) Al pasar al límite, $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,6}\,\dfrac{\sqrt{x-2}-2}{x^2-6x}$, nos encontramos con una indeterminación del tipo $\dfrac{0}{0}$.
Como en el caso anterior, también se cumplen en éste las condiciones de aplicación de la regla de l'Hôpital, y, en este caso, sí merece la pena emplearla.

$\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,6}\,\dfrac{\sqrt{x-2}-2}{x^2-6x}=\lim_{x\,\rightarrow\,6}\,\dfrac{(\sqrt{x-2}-2)'}{(x^2-6x)'}=\lim_{x\,\rightarrow\,6}\,\dfrac{1/(2\,\sqrt{x-2})}{2x-6}=$
  $=\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,6}\,\dfrac{1/4}{(x-3)\,\sqrt{x-2}}=\dfrac{1}{4\cdot 3\cdot 2}=\dfrac{1}{24}$
$\square$