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martes, 19 de marzo de 2019

Un ejercicio acerca del teorema fundamental del cálculo

ENUNCIADO. Se considera la función definida de la siguiente manera: F(x)=\int_{0}^{x}\,(t^2-1)\,dt
Determínese los extremos relativos de dicha función, sin resolver explícitamente la integral

SOLUCIÓN. Por el Teorema Fundamental del Cálculo podemos afirmar que F'(x)\overset{\text{t.f.c.}}{=}f(x)=x^2-1, la cual se anula para x^{*}=\pm 1, valores que representan las abscisas de los extremos relativos de la función F(x), x_{1}^{*}=-1 y x_{2}^{*}=1. Por otra parte, y teniendo en cuenta que F''(x)=2x, vemos que F'(-1)=2\cdot (-1)\prec 0, y por tanto x_{1}^{*}=-1 es la abscisa de un máximo local, y, F'(1)=2\cdot (1)\succ 0, luego x_{2}^{*}=1 es la abscisa de un mínimo local. \square

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