SOLUCIÓN.
Intentemos expresar la función dada de una manera equivalente, más compacta,
$f(x)=\dfrac{\sin\,3x+\cos\,3x}{\cos\,3x-\sin\,3x}=\dfrac{\sin\,3x+\cos\,3x}{\cos\,3x-\sin\,3x}\cdot \dfrac{\cos\,3x+\sin\,3x}{\cos\,3x+\sin\,3x}=$
$=\dfrac{\sin^2\,3x+\cos^2\,3x+2\,\sin\,3x\,\cos\,3x}{\cos^2\,3x-\sin^2\,3x}=\dfrac{1+2\,\sin\,3x\,\cos\,3x}{\cos^2\,3x-\sin^2\,3x}$
$=\dfrac{1+\sin\,6x}{\cos\,6x}$
Calculemos ahora la función derivada, al objeto de analizar el signo que toma en los diversos valores de $x$:
$f'(x)=\left(\dfrac{1+\sin\,6x}{\cos\,6x}\right)'=\dfrac{1+6\,\sin\,6x}{\cos^2\,6x}$ ( Nota. Se han omitido los pasos de cálculo )
Observemos que tanto el numerador como el denominador son positivos para todo $x\in \mathbb{R}$, salvo para los ceros de la función del denominador de $f(x)$, para los cuales aparecen rectas asíntotas verticales y, por tanto, la función presenta discontinuidades en cada uno de ellos. En consecuencia, salvo para esos infinitos puntos en los que la función es discontinua, la función es creciente en todos los demás puntos. Nota: Véase la gráfica de la función para comprender mejor estos comentarios.
Observación: Para obtener las ecuaciones de las rectas asíntotas verticales y, por tanto, los infinitos puntos donde la función es discontinua, podemos proceder de la siguiente manera. Resolviendo la ecuación $f(x)=0 \Leftrightarrow 1+\sin\,6x=0$, vemos que el primer cero positivo de la función $f(x)$ es $\pi/4$. El periodo de la función del numerador de $f(x)$, que es $1+\sin\,6x$, es el mismo que el de $\sin\,6x$, esto es, $T=2\,\pi/6=\pi/3$; por tanto el segundo cero positivo del denominador de $f(x)$, $\cos\,6x$, es el primero, $\pi/12$ más el valor de $T$: $\pi/12+T=\pi/12+\pi/3=5\,\pi/12$; así podemos ir calculando las abscisas por donde pasan las asíntotas verticales: $\pi/12\pm\,n\cdot\pi/3$, para $n=0,1,2,3,\ldots$
$\square$
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