Cálculo de primitivas de algunas funciones irracionales

Nota preliminar.
Lo siguiente se consideran de ampliación ( de los contenidos de integración ) en el ámbito del bachillerato

--- I) Las integrales del tipo $\displaystyle \int R \left(x,\left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)^{m_{1}/n_{1}},\ldots,\left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)^{m_{k}/n_{k}}\right)\,dx$, donde $R$ denota una función racional, se pueden resolver mediante el cambio de variable $y^n=\dfrac{ax+b}{cx+d}$, siendo $n=\text{m.c.m}(\{n_1,\ldots,n_k\})$

II) Las integrales binomicas $\displaystyle \int\,x^{p}\,(ax^q+b)^r\,dx$, donde $p,q,r$ son números racionales, se resuelven haciendo el cambio de variable $t=x^q$, siempre que $r,\dfrac{p+1}{q}$ o bien $r+\dfrac{p+1}{q}$ sean números enteros.

III) El cambio de variable $x=a\,\sin\,t$ suele funcionar con las integrales del tipo $\int\,R(x,\sqrt{a^2-x^2})\,dx$

IV) El cambio de variable $x=\dfrac{a}{\sin\,t}$ suele funcionar con las integrales del tipo $\int\,R(x,\sqrt{x^2-a^2})\,dx$

V) El cambio de variable $x=a\,\tan\,t$ suele funcionar con las integrales del tipo $\int\,R(x,\sqrt{a^2+x^2})\,dx$

VI) El cambio de variable $y=x+\alpha$, despues de transformar $ax^2+bx+c$ en la forma $a(x+\alpha)^2+\beta^2$, suele funcionar con las integrales del tipo $\int\,R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx$

VII) Las integrales del tipo $\displaystyle \int\,\dfrac{P_{n}(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\,dx$, siendo $P_{n}(x)$ un polinomio de grado $n$, se transforman en alguna de las anteriores haciendo la descomposición $$\displaystyle \int\,\dfrac{P_{n}(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\,dx=Q_{n-1}(x)\,\sqrt{ax^2+bx+c}+\int\,\dfrac{A}{ax^2+bx+c}\,dx \quad (1)$$ donde $Q_{n-1}(x)$ es un polinomio de grado $n-1$ con coeficientes indeterminados. Los coeficientes de $Q_{n-1}$ así como el coeficiente $A$ se determinan derivando (1) en ambos miembros.

VIII) Las integrales del tipo $\displaystyle \int \dfrac{dx}{(\alpha\,x+\beta)^{n}\,\sqrt{ax^2+bx+c}}\,dx$ donde $n$ es un número real, se tranforman en una integral de alguno de los tipos anteriores mediante el cambio de variable $t=\dfrac{1}{\alpha\,x+\beta}$

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Referencias:
M. L. Calle, R. Vendrel, Problemes d'àlgebra lineal i càlcul infinitesimal, Eumo Editorial, Barcelona, 1992

N. Piskunov, Cálculo diferencial e integral, Montaner y Simon, S.A., Barcelona, 1978