Un ejercicio acerca del teorema fundamental del cálculo

ENUNCIADO. Se considera la función definida de la siguiente manera: $$F(x)=\int_{0}^{x}\,(t^2-1)\,dt$$
Determínese los extremos relativos de dicha función, sin resolver explícitamente la integral

SOLUCIÓN. Por el Teorema Fundamental del Cálculo podemos afirmar que $F'(x)\overset{\text{t.f.c.}}{=}f(x)=x^2-1$, la cual se anula para $x^{*}=\pm 1$, valores que representan las abscisas de los extremos relativos de la función $F(x)$, $x_{1}^{*}=-1$ y $x_{2}^{*}=1$. Por otra parte, y teniendo en cuenta que $F''(x)=2x$, vemos que $F'(-1)=2\cdot (-1)\prec 0$, y por tanto $x_{1}^{*}=-1$ es la abscisa de un máximo local, y, $F'(1)=2\cdot (1)\succ 0$, luego $x_{2}^{*}=1$ es la abscisa de un mínimo local. $\square$