Uso de las identidades trigonométricas de descomposición de «productos en sumas» para el cálculo de algunas integrales indefinidas que se presten a ello

Recordemos las siguientes identidades —ya justificadas aquí—, que podemos utilizar para obtener las funciones primitivas de las funciones producto de coseno por seno, seno por seno, y coseno por coseno: $$\sin (\alpha)\cdot \cos(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (1)$$ $$\cos (\alpha)\cdot \cos(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (2)$$ $$\sin (\beta)\cdot \cos(\alpha) = \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (3)$$ $$\sin (\alpha)\cdot \sin(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\,\right)\quad \quad (4)$$

Veamos un ejemplo de cómo calcular fácilmente —con la ayuda de este tipo de identidades— la función primitiva del tipo de integrales indefinidas a la que me refiero: $$\displaystyle \int\,\sin(4x)\cdot \cos(2x)\,dx$$

Empleando (1), se tiene que $$\sin(4x)\cdot \cos(2x)=\dfrac{1}{2}\left(\,\sin(4x+2x)+\sin(4x-2x)\,\right)=\dfrac{1}{2}\left(\,\sin(6x)+\sin(2x)\,\right)$$ por lo tanto $$\displaystyle \int\,\sin(4x)\cdot \cos(2x)\,dx = \displaystyle \int \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(6x)+\sin(2x)\,\right)\,dx = \displaystyle \dfrac{1}{2}\, \int \left(\,\sin(6x)+\sin(2x)\,\right)\,dx=$$ $$= \displaystyle \dfrac{1}{2}\, \int \sin(6x)\,dx + \displaystyle \dfrac{1}{2}\, \int \sin(2x)\,dx=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{6}\,\cos(6x)+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\,\cos(2x)+C=\dfrac{1}{12}\,\cos(6x)+\dfrac{1}{4}\,\cos(2x)+C$$ $\diamond$

Integración de funciones trigonométricas

I) Las integrales trigonométricas de los tipos:
$$\int\,\sin(\alpha x)\cdot \sin(\beta x)\,dx$$ $$\int\,\sin(\alpha x)\cdot \cos(\beta x)\,dx$$ $$\int\,\cos(\alpha x)\cdot \cos(\beta x)\,dx$$ se resuelven fácilmente transformando los productos (que aparecen en el integrando) en sumas, mediante las siguientes identidades trigonométricas: $$ \sin(\alpha x)\cdot \sin(\beta x)=\dfrac{1}{2}\,\left( \cos(\alpha-\beta)x-\cos(\alpha x+\beta x)\right)$$ $$ \sin(\alpha x)\cdot \cos(\beta x)=\dfrac{1}{2}\,\left( \sin(\alpha-\beta)x+\sin(\alpha x+\beta x)\right)$$ $$ \cos(\alpha x)\cdot \cos(\beta x)=\dfrac{1}{2}\,\left( \cos(\alpha-\beta)x+\cos(\alpha x+\beta x)\right)$$

EJEMPLO I.1 Nos proponemos calcular la integral $I=\displaystyle \sin\,\sin(2x)\,\sin(3x)\,dx$. Teniendo en cuenta que $\sin\,\sin(2x)\,\sin(3x)=\dfrac{1}{2}\,\left( \cos\,(2x-3x)-\cos(2x+3x)\right)=$
$=\dfrac{1}{2}\,(\cos(-x)-\cos(5x))=\dfrac{1}{2}\,(\cos(x)-\cos(5x))$, podemos escribir $$I=\dfrac{1}{2}\,\left( \int\,\cos\,x\,dx-\int\,\cos(5x)\,dx \right)=\dfrac{1}{2}\,\left( \sin\,x-\dfrac{1}{5}\,\sin(5x)\right)+C$$


II.a) Las integrales del tipo $\displaystyle \int\,R(\sin\,x,\cos\,x)\,dx$ ( donde $R$ representa una funcion racional ) se pueden resolver haciendo el cambio de variable $t=\tan\,(x/2)$

II.b) Las integrales de un tipo tal que $R(\sin\,x,-\cos\,x)=-R(\sin\,x,\cos\,x$ ( donde, como en el caso anterior, $R$ representa una funcion racional ) se pueden resolver haciendo el cambio de variable $t=\sin\,x$

II.c) Las integrales de un tipo tal que $R(-\sin\,x,\cos\,x)=-R(\sin\,x,\cos\,x$ ( donde, como en los casos anteriores, $R$ representa una funcion racional ) se pueden resolver haciendo el cambio de variable $t=\cos\,x$

II.d) Las integrales de un tipo tal que $R(-\sin\,x,-\cos\,x)=R(\sin\,x,\cos\,x$ ( donde, como en los casos anteriores, $R$ representa una funcion racional ) se pueden resolver haciendo el cambio de variable $t=\tan\,x$

III) Las integrales del tipo $\displaystyle \int\,\sin^{m}\,x\,\cos^{n}\,x\,dx$, se resuelven de las siguientes maneras:
  III.a) Si $m$ es impar, se realiza el cambio de variable $t=\cos\,x$, y, mediante la identidad fundamental de la trigonometría, la sustitución de $\sin^2\,x$ por $1-\cos^2\,x$
  III.b) Si $n$ es impar, se realiza el cambio de variable $t=\sin\,x$, y, mediante la identidad fundamental de la trigonometría, la sustitución de $\cos^2\,x$ por $1-\sin^2\,x$

Nota: Cuando sea posible, y de manera previa, es recomendable utilizar las siguientes identidades trigonométricas: $\sin^2\,x=\dfrac{1}{2}\,(1-\cos\,2x)$ y $\cos^2\,x=\dfrac{1}{2}\,(1+\cos\,2x)$, pues facilitan mucho las cosas, e incluso, en según qué casos, basta con eso para transformar las integrales con potencias de razones trigonométricas al cuadrado en integrales de razones del ángulo doble.

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Referencias:
M. L. Calle, R. Vendrel, Problemes d'àlgebra lineal i càlcul infinitesimal, Eumo Editorial, Barcelona, 1992

N. Piskunov, Cálculo diferencial e integral, Montaner y Simon, S.A., Barcelona, 1978