Un ejemplo de cálculo de la matriz inversa de una matriz regular

[Dos maneras de calcular la matriz inversa de una matriz regular]

Cálculo de probabilidades con las distribuciones binomial y normal.

ENUNCIADO. Una empresa ha llevado a cabo un proceso de selección de personal.
a) Se sabe que el $40\,\%$ del total de los aspirantes ha sido seleccionado. Si entre los aspirantes había un grupo de $8$ amigos, calcúlese la probabilidad de que al menos $2$ de ellos hayan sido seleccionados.
b) Las puntuaciones obtenidas por los aspirantes en el proceso de selección siguen una distribución normal, $X$, de media $5.6$ y desviación típica $\sigma$. Sabiendo que $P\{X\le 8.2\}=0.67$, calcúlese el valor de $\sigma$

SOLUCIÓN.
a) Denotemos por $S$ a la variable aleatoria "número de amigos del grupo que han sido seleccionados". Los valores posibles de dicha v.a. son $0,1,2,3,\ldots,8$. Es claro que $S$ sigue una distribución binomial de parámetros $n=8$ y probabilidad de éxito $p=40/100=2/5$ ( y probabilidad de fracaso $q=1-p=3/5$). Entonces, $\displaystyle P\{X\ge 2\}=1-P\{X\le 1\}=1-\left( \binom{8}{0}\cdot (2/5)^{0}\cdot (3/5)^8 + \binom{8}{1}\cdot (2/5)^{1}\cdot (3/5)^7 \right)=$
  $=\displaystyle 1-(3/5)^8 - 8 \cdot (2/5)\cdot (3/5)^7 \approx 0,8936$

b) La variable aleatoria $X$ (puntuación) sigue una distribución $N(5.6,\sigma)$. Entonces, tipificando la variable $X$, pasamos a la v.a. $Z$ que sigue una distribución normal $N(0,1)$, luego $P\{X\le 8.2\}=P\{Z\le (8.2-5.6)/\sigma\}=P\{Z\le 2.6/\sigma\}$; por otra parte, sabemos que dicha probabilidad ha de ser igual a $0.67$, así que, consultando en el interior de las tablas de la función de distribución $F(z)$, encontramos para dicho valor ( $0.67$ ), la abscisa crítica $z^*=0.44$, luego $$\dfrac{2.6}{\sigma}=0.44 \Leftrightarrow \sigma=\dfrac{2.6}{0.44}\approx 5,91$$
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Un problema de geometría en el espacio euclídeo

ENUNCIADO. Dados los puntos $A(1,1,1)$, $B(1,3,-3)$ y $C(-3,-1,1)$, se pide:
a) La ecuación del plano $\pi$ que contiene a los tres puntos
b) Obténgase un punto $D$ ( distinto de $A,B$ y $C$ ) tal que los vectores $\overset{\rightarrow}{AB}$, $\overset{\rightarrow}{AC}$ y $\overset{\rightarrow}{AD}$ sean linealmente dependientes
c) Encuéntrese un punto $P$ del eje $Ox$ de modo que el volumen del tetraedro de vértices $A,B,C$ y $P$ sea igual a $1$

SOLUCIÓN.
a)
Procederemos de la manera siguiente. Un vector característico del plano $\pi$ ( perpendicular a $\pi$ ) viene dado por cualquier vector en la dirección de $\vec{u} \times \vec{v}$, siendo $\vec{u}$ y $\vec{v}$ vectores del plano $\pi$. A partir de las coordenadas del vector característico $\vec{n}=(A,B,C)$, podremos escribir la ecuación general del plano $\pi \equiv Ax+By+Cz+D=0$, donde $D$ puede determinarse imponiendo que las coordenadas de cualquier punto del plano satisfagan dicha ecuación.

Entonces,
$\overset{\rightarrow}{AB}=(1-1,3-1,-3-1)=(0,2,-4)\propto (0,1,-2)$ y $\overset{\rightarrow}{AC}=(-3-1,-1-1,1-1)=(-4,-2,0)\propto (2,1,0)$, luego dos vectores del plano $\pi$ son: $\vec{u}:=(0,1,-2)$ y $\vec{v}:=(2,1,0)$, y como $\vec{u}\times \vec{v}=\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\0&1&-2\\2&1&0\end{vmatrix}=(2-4,-2)\propto (1,-2,-1)$ ( donde los vectores $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica, a la cual vienen referidas las coordenadas de los puntos dados ), un vector que caracteriza al plano $\pi$ (perpendicular al mismo) es $\vec{n}:=(1,-2,-1)$, de lo cual podemos escribir $$\pi\equiv x-2y+z+C=0$$ Por otra parte, como el punto $A(1,1,1)$ está en $\pi$, tenemos que $1-2\cdot 1-1+C=0\Leftrightarrow C=2$. En consecuencia, la ecuación del plano pedido es $$\pi\equiv x-2y-z+2=0$$

b)
Tomando valores arbitrarios de $x$ e $y$ -- pongamos que $x:=0$ e $y:=0$ -- y depejando $z$ de la ecuación general del plano, obtenemos otro punto del plano $\pi$, distinto de $A,B$ y $C$: $D(0,0,2)$, y, por tanto, $\overset{\rightarrow}{AD}=(0-1,0-1,2-1)=(-1,-1,1)$. Dicho vector del plano $\pi$ ha de ser combinación lineal del sistema de vectores $\{ \overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AC}\}$ ya que estos forman una base del mismo, pues al no tener la misma dirección son linealmente independientes. En consecuencia mediante el punto $D(0,0,2)$ podemos formar el conjunto de vectores linealmente dependientes: $\{ \overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AC},\overset{\rightarrow}{AD} \}$

c)
Como el punto $P$ está en el eje $Ox$, sabemos que sus coordenadas son $P(x_P,0,0)$. Considerando ahora el paralelepípedo cuyos vectores en la dirección de sus tres aristas características son $\overset{\rightarrow}{PA}=(1-x_P,1-0,1-0)=(1-x_P,1,1)$, $\overset{\rightarrow}{PB}=(1-x_P,3-0,-3-0)=(1-x_P,3,-3)$ y $\overset{\rightarrow}{PC}=(-3-x_P,-1-0,1-0)=(-3-x_P,-1,1)$, sabemos que éste se divide en $6$ tetraedros del mismo volumen, uno de los cuales es el tetraedro cuyo volumen nos proponemos calcular, de vértices $A,B,C$ y $P$. Entonces dicho volumen es igual a una sexta parte del producto mixto de los tres vectores $$\mathcal{V}=\dfrac{1}{6}\,\left| \,\left[ \overset{\rightarrow}{PA}, \overset{\rightarrow}{PB},\overset{\rightarrow}{PC}\right]\,\right|$$ Calculando el producto mixto, obtenemos: $$\,\left[ \overset{\rightarrow}{PA}, \overset{\rightarrow}{PB},\overset{\rightarrow}{PC}\right] =\begin{vmatrix}1-x_P & 1 & 1\\ 1-x_P & 3 & -3 \\ 3-x_P &-1& 1\end{vmatrix}=8\,(x_P+2)$$ luego $$\mathcal{V}=\dfrac{4}{3}\,\left| x_P+2 \right|=1 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_P+2=\dfrac{3}{4} \Rightarrow x_{P_{1}}=-\dfrac{5}{4} \\ -(x_P+2)=\dfrac{3}{4} \Rightarrow x_{P_{2}}=-\dfrac{11}{4} \end{matrix}\right.$$ Hemos encotrado pues dos puntos que satisfacen la condición pedida: $P_{1}(-5/4,0,0)$ y $P_{2}(-11/4,0,0)$
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Reglas de derivación. Cálculo de primitivas

ENUNCIADO.
(a) Sean $f$ y $g$ dos funciones derivables, de las que se conocen los siguientes datos: $f(1)=1$, $f'(1)=2$; $g(1)=3$, $g'(1)=4$. Se pide:
i) Dada la función $h(x)=f((x+1)^2)$, empléese la regla de la cadena para calcular $h'(0)$
ii) Dada la función $k(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$, calcúlese $k'(1)$
(b) Calcúlese la integral $\displaystyle \int\,(\sin\,x)^4\,(\cos\,x)^3\,dx$ ( Sugerencia: utilízece el cambio de variable $\sin\,x=t$ )

SOLUCIÓN.
a.i)
Aplicando la regla de la cadena, $$h'(x)=\dfrac{dh(x)}{dx}=\dfrac{d(f(x+1)^2)}{d((x+1)^2)}\,\dfrac{d((x+1)^2}{dx}=2x\,\dfrac{d(f(x+1)^2)}{d((x+1)^2)}=2x\,f'((x+1)^2)$$ luego $$h'(0)=2\cdot 0\cdot f'((0+1)^2)=0\cdot f'(1)=0\cdot 2=0$$

a.ii)
Aplicando la regla de derivación del cociente de funcions $$k'(x)=\dfrac{f'(x)\,g(x)-g'(x)\,f(x)}{(g(x))^2}$$ luego $$k'(1)=\dfrac{f'(1)\,g(1)-g'(1)\,f(1)}{(g(1))^2}=\dfrac{2\cdot 3-4\cdot 1}{3^3}=\dfrac{2}{9}$$

b)
Con el cambio de variable $\sin\,x=t$, tenemos que $$\dfrac{dt}{dx}=\cos\,x \Rightarrow dt=\cos\,x\,dx=\sqrt{1-t^2}\,dx \Rightarrow dx= \dfrac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$$, habida cuenta de que, por la Identidad Fundamental de la Trigonometría, $$\cos\,x=\sqrt{1-(\sin\,x)^2}=\sqrt{1-t^2}$$ Entonces,
$\displaystyle \int\,(\sin\,x)^4\,(\cos\,x)^3\,dx = \int\,t^4\,(1-t^2)^{3/2}\,\dfrac{dt}{(1-t^2)^{1/2}}=\int\,t^4\,(1-t^2)\,dt=$
  $=\displaystyle \int\,(t^4-t^6)\,dt=\dfrac{1}{5}\,t^5-\dfrac{1}{7}\,t^7+C=\dfrac{1}{5}\,(\sin\,x)^5-\dfrac{1}{7}\,(\sin\,x)^7+C$
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Discusión de un sistema de ecuaciones lineales en función de un parámetro real y resolución del mismo en un determinado caso.

ENUNCIADO. Dado el sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}kx&+&(k+1)y&+&z&=&0 \\ -x&+&ky&-&z&=&0\\(k-1)x&-&y&&&=&-(k+1)\end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) Discutir el sistema según los valores del parámetro real $k$
b) Resolver el sistema para $k:=-1$

SOLUCIÓN.
a)
La matriz ampliada de los coeficientes del sistema es $$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}k&k+1&1&0\\ -1&k&-1&0\\k-1&-1&0&-(k+1)\end{array}\right)$$ Observemos que la submatriz de orden $2$ formada por los elementos de las filas segunda y tercera y por los elementos de las columnas segunda y tercera tiene determinante distinto de cero $\begin{vmatrix}k&-1\\-1&0\end{vmatrix}=1\neq 0$, de lo cual se desprende que el rango de la matriz $A$ ( y también el de la matriz $A^*$ ) es, al menos, $2$. Orlando dicha submatriz obtenemos dos menores complementarios de orden $3$:

$$M_1=\begin{vmatrix}k&k+1&1\\-1&k&-1\\k-1&-1&0\end{vmatrix}=-2\,(k^2-1)=0\Leftrightarrow k\in \{-1,1\}$$

$$M_2=\begin{vmatrix}k+1&1&0\\k&-1&0\\-1&0&-(k+1)\end{vmatrix}=(k+1)(2k+1)\Leftrightarrow k\in \{-1,1/2\}$$

Por consiguiente, y según el teorema de Rouché-Fröbenius:

i) Si $k=-1$, $M_1=M_2=0$ y por tanto los rangos de la matriz $A$ y de la matriz $A^*$ son menores que $3$, por consiguiente $\text{rango}(A)=\text{rango}(A^*)=2$, luego el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria y dos variables principales ($n$ denota el número de variables del sistema).

ii) Si $k=1$, $M_1=0 \Rightarrow \text{rango}(A)=2$ y $M_2\neq 0\Rightarrow \text{rango}(A^*)=3$, y, al no coincidir los rangos el sistema es incompatible para dicho valor del parámetro $k$

iii) Para $k=-1/2$, así como para cualquier otro valor de $k$ distinto de $-1$ y de $1$, los rangos coinciden $r=\text{rango}(A)=\text{rango}(A^*)=3=n$, y el sistema es compatible determinado.


b)
Si $k:=-1$ estamos en el caso (i) -- sistema compatible indeterminado con $1$ variable secundaria --. La matriz ampliada de los coeficientes del sistema es ahora $$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}-1&0&1&0\\ -1&-1&-1&0\\-2&-1&0&0\end{array}\right)$$ Recordemos que el rango de dicha matriz es $2$ para este valor de $k$. Por otra parte, la tercera fila de dicha matriz es combinación lineal de las dos primeras ( el menor complementario formado por los elementos de las filas primera y segunda y por los elementos de las columnas primera y segunda es distinto de $0$, con lo cual un sistema equivalente está formado por las dos primeras filas $$\left\{\begin{matrix}-x&&&+&z&=&0 \\ -x&-&y&-&z&=&0\end{matrix}\right.$$ Desingando $z$ como variable secundaria: $z:=\lambda$, podemos escribirlo de la forma $$\left\{\begin{matrix}x&&&&&=&\lambda \\ &&y&&&=&-2\lambda \\ &&&&z&=&\lambda\end{matrix}\right.$$ Así pues la solución del sistema para dicho valor del parámetro viene dada por las infinitas ternas $$\{(\lambda,-2\lambda,\lambda):\lambda\in\mathbb{R}\}$$ o lo que es lo mismo: $$\{\lambda\,(1,-2,1):\lambda\in\mathbb{R}\}$$
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Cálculo de probabilidades. Distribución binomial y distribución normal.

ENUNCIADO. La probabilidad de que un pez de una determinada especie sobreviva más de $5$ años es del $10\,\%$. Se pide:
a) Si en un acuario tenemos $10$ peces de esta especie nacidos este año, hallar la probabilidad de que al menos dos de ellos sigan vivos dentro de $5$ años
b) Si en un tanque de una piscifactoría hay $200$ peces de esta especie nacidos este mismo año, usando una aproximación mediante la distribución normal correspondiente, hallar la probabilidad de que al cabo de $5$ años hayan sobrevivido al menos $10$ de ellos

SOLUCIÓN.
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria "número de peces que han sobrevivido más de 5 años". Es claro que $X$ sigue una distribución binomial $B(n,p)$, donde la probabilidad de éxito es $p=0,1$

a) La probabilidad de que sobrevivan al menos $2$ peces es:

$P\{X \ge 2\}=1-P\{X \le 1\} =1-( P\{X=0\} + P\{X=1\})=$

  $\displaystyle =1- \left( 0,9^{10} + \binom{10}{1} \cdot 0,1^{1}\cdot 0,9^{9} \right) \approx 0,2639$

b)
Ahora; $n:=200$, que por su magnitud es necesario aproximar, si es posible, la distribución binomial de $X$, $B(n,p)$, por una d. normal $Y$, $N(\,np, \sqrt{np(1-p})\,)$. Veamos si es razonable hacerlo: como $n\cdot p = 200\cdot 0,10 = 20 \succ 5$, sí lo es.

Teniendo en cuenta que la media es $\mu=np=200\cdot 10=20$ y la desviación estándar $\sigma=\sqrt{200\cdot 0,1\cdot 0,9} \approx 4,24$, podemos escribir:

$P\{X\ge 10\} \approx P\{Y \ge 10-0,5\}=$ ( aplicamos también la corrección de continuidad de Yates )

  $=P\{Y \ge 9,5\}$

    $=P\{Z \ge \dfrac{9,5-20}{4,24}\approx -2,48\}$ ( tipificación $Y \rightarrow Z=\dfrac{Y-\mu}{\sigma}$, que es $N(0,1)$, para poder así usar las tablas de dicha función de distribución )

      $=1-P\{Z \le -2,48\}$

        $=1-P\{Z \ge 2,48\}$

          $=1-( 1- P\{Z \le 2,48\} )$

            $=P\{Z \le 2,48\}$

              $\overset{\text{tablas}\,N(0,1)}{=}0,9934 \approx 99\,\%$

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Un ejercicio en el espacio euclídeo R^3

ENUNCIADO. Dadas las rectas $r\equiv \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-3}{-2}=z$ y la recta $s$ que pasa por el punto $(2,-5,1)$ y tiene dirección $(-1,0,-1)$, se pide:
a) Estúdiese la posición relativa de las dos rectas
b) Determínese un plano que sea paralelo a $r$ y que contenga a $s$
c) Determínese un plano perpendicular a la recta $r$ y que pasa por el origen de coordenadas

SOLUCIÓN.
a) Un vector en la dirección de $r$ es $\vec{u}_r=(2,-2,1)$, lo cual deduciomos de interpretar los denominadores de la ecuación de $r$ en forma continua que viene dada en el enunciado $r\equiv \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z-0}{1}$; por otra parte, como un punto de dicha recta es $P_{r}(1,3,0)$, un vector que apunta de dicho punto de $r$ a un punto de $s$ tal como $P_{s}(2,-5,1)$ ( dado en el enunciado ) es $\overset{\rightarrow}{P_{r}\,P_{s}}=(2-2,-5-(-2),1-1)=(0,-3,0)$.

Estudiaremos la posición relativa de $r$ y $s$ a partir del estudio del rango del conjunto de vectores $\{\vec{u}_{r}=(2,-2,1),\vec{u}_{s}=(-1,0,-1),\overset{\rightarrow}{P_{r}\,P_{s}}=(0,-3,0)\}$, el cual viene dado por el rango de la matriz que formamos disponiendo las coordenadas de dichos vectores en filas o en columnas ( los dispondremos en filas ): $$\begin{pmatrix}2&-2&1\\-1&0&-1\\0&-3&0\end{pmatrix}$$ El rango de dicha matriz es $3$ puesto que su determinante es distinto de $0$ $$\begin{vmatrix}2&-2&1\\-1&0&-1\\0&-3&0\end{vmatrix}=-3\cdot (-1)^{3+2}\,\begin{vmatrix}2&1\\-1&-1\end{vmatrix}=3\cdot (2\cdot (-1)-(-1)\cdot 1)=-3\neq 0$$ de lo cual deducimos que las rectas $r$ y $s$ se cruzan.

b) Un plano $\pi$ que sea paralelo a $r$ y que contenga a $s$ viene caracterizado por un vector perpendicular al mismo, tal como $\vec{n}_{\pi}:=\vec{u}_{r} \times \vec{u}_{s}$, además de por un punto de dicho plano, que, al incluir a la recta $s$, es, por ejemplo, el punto $P_{s}(1,3,0)$

Entonces, $\vec{n}_{\pi}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&-2&1\\-1&0&-1\end{vmatrix}=(2,1,-2)$, donde $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica de $\mathbb{R}^3$ ( a los cuales se refieren las coordenadas de los datos del problema ). A partir de las coordenadas del vector perpendicular al plano que acabamos de encontrar, sabemos que los coeficientes $A,B$ y $C$ de la ecuación del plano en forma general $\pi\equiv Ax+By+Cz+D=0$ corresponden a las coordenadas del mismo: $A=2$, $B=1$ y $C=-2$; así que, podemos escribir que $\pi \equiv 2x+y-2z+D=0$. Determinamos $D$ teniendo en cuenta que $P_{s} \in \pi$, con lo cual $2\cdot 2+(-5)\cdot 1 -2\cdot 1+D=0 \Rightarrow D=3$, en consecuencia la ecuación del plano pedido es: $$\pi \equiv 2x+y-2z+3=0$$

c)
Denotemos por $\sigma$ al plano pedido ( perpendicular a $r$ y que pase por $O(0,0,0)$ ) y por $\vec{n}_{\sigma}$ un vector perpendicular a dicho plano; entonces podemos tomar $\vec{n}_{\sigma}:=\vec{u}_{r}=(2,-2,1)$, con lo cual $\sigma\equiv 2x-2y+z+D=0$; y, como, $O(0,0,0)\in \sigma$ ha de cumplirse que $2\cdot 0-2\cdot 0+0+D=0\Rightarrow D=0$. En consecuencia, la ecuación del plano pedido es $$\sigma \equiv 2x-2y+z=0$$
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Un ejercicio de integración y análisis de funciones

ENUNCIADO. Dada la función real de variable real $f(x)=\dfrac{\ln\,x}{x}$, se pide:
a) Calcular, en caso de que exista, una asíntota horizontal de la curva de $f(x)$
b) Encuéntrese un punto de la curva $y=f(x)$ en el que la recta tangente a dicha curva sea horizontal y analícese si dicho punto es extremo relativo.
c) Calcúlese el área del recinto acotado limitado por la curva $y=f(x)$ y las rectas $y=0$ y $x=e$

SOLUCIÓN.
a)
Si existen asíntotas horizontales, éstas tendran pendiente nula, por lo que podemos encontrarlas mediante el procedimiento más general de encontrar asíntotas oblicuas ( $y=mx+k$ [1]) con $m=0$. Sabemos que $\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,f'(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$, haciendo tender la variable de control del límite a $+\infty$ por estar definida dicha función $f(x)$ en $(0,+\infty)$

Entonces, $\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{\ln\,x}{x^2}\overset{[\text{ind. del tipo}\,\infty/\infty\,,\,\text{L'Hôpital}]}{=}\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{1/x}{2x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{1}{2x^2}=\dfrac{1}{+\infty}=0$, por lo que podemos asegurar que la función $f(x)$ tiene una asíntota horizontal ( no tiene asíntotas oblicuas con $m\neq 0$ ).

Una vez conocido el valor de $m$, el término independiente de [1] viene dado por el valor del límite $\displaystyle k=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,(f(x)-m\,x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,(\dfrac{\ln\,x}{x}-0\cdot x)=$
$=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{\ln\,x}{x}\overset{[\text{ind. del tipo}\,\infty/\infty\,,\,\text{L'Hôpital}]}{=}\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{1/x}{1}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{+\infty}=0$

Así pues, de [1], la ecuación de la única asíntota horizontal que tiene la función es $$\text{a.h.}\equiv y=0$$

b)
La condición necesaria que tiene que cumplir un extremo relativo es $f'(x)=0$, luego procedamos a encontrar extremos relativos, pues en estos puntos la pendiente de la recta tangente a la curva de $f(x)=0$ ha de ser $0$. Calculemos la función derivada de $f(x)$: $$f'(x)=\left( \dfrac{\ln\,x}{x} \right)'=\left( x^{-1}\,\ln\,x \right)'=-1\cdot x^{-2}\,\ln\,x+\dfrac{1}{x}\,x^{-1}=\dfrac{1-\ln\,x}{x^2}$$ y $$\dfrac{1-\ln\,x}{x^2}=0\Leftrightarrow x^{*}=e$$ por consiguiente, en el punto $(e,f(e))$ la recta tangente a la curva $f(x)$ es paralela al eje de abscisas ( tiene pendiente nula ).

c) $\displaystyle \text{Área}=\left| \int_{r}^{e}\,\dfrac{f(x)}{x}\,dx \right|$, donde $r$ es la raíz de $f(x)$, cuyo valor es $r=1$, ya que $\dfrac{\ln\,x}{x}=0 \Leftrightarrow x=1$. La siguiente figura ilustra la situación:

Así pues $$\displaystyle \text{Área}=\int_{1}^{e}\,\dfrac{f(x)}{x}\,dx\overset{\text{Barrow}}{=}F(e)-F(1)\quad \quad [1]$$ donde una función primitiva $F(x)$ de $f(x)=\dfrac{\ln\,x}{x}$ la obtenemos del cálculo de la integral indefinida $\displaystyle \int\, \dfrac{\ln\,x}{x}\,dx = \dfrac{1}{2}\,\int\,d\left((\ln\,x)^2\right)^\,dx=\dfrac{1}{2}\,(\ln\,x)^2+C$, con lo cual, tomando $F(x)=\dfrac{1}{2}\,(\ln\,x)^2$, encontramos ( de [1] ) que el área pedida es igual a $$\displaystyle \int_{1}^{e}\,\dfrac{f(x)}{x}\,dx=\dfrac{1}{2}\,(\ln\,e)^2-\dfrac{1}{2}\,(\ln\,1)^2=\dfrac{1}{2}\cdot 1 -\dfrac{1}{2}\cdot 0 = \dfrac{1}{2}\,(\text{unidades de longitud})^2$$
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Otro ejercicio de álgebra lineal

ENUNCIADO. Dadas las matrices $$A=\begin{pmatrix}1&3&4&1 \\ 1 & a & 2 & 2-a \\ -1 & 2 & a & a-2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad M=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
a) Estúdiese el rango de $A$ en función del parámetro real $a$
b) Calcúlese, si es posible, la inversa de la matriz $AM$ para el caso $a=0$

SOLUCIÓN.

a)
I) Procedamos a realizar el análisis del rango por el método de los determinantes ( menores complementarios ). Como el tamaño de la matriz e $3\times 4$, el rango de la misma es menor o igual que $3$. Por otra parte, bbservemos que la sumbmatriz $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{13}\\ a_{21}& a_{23}\end{pmatrix}$ tiene determinante no nulo, $\begin{vmatrix}1&4\\1& 2\end{vmatrix}=2\cdot 1 - 1\cdot -4=-2\neq 0$, por tanto el rango de $A$ es al menos $2$. Para estudiar para qué valores de $a$ el rango es $3$, empleamos el algoritmo del orlado. Orlando esta submatriz nos encontramos solamente con dos menores de orden $2$:
$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13} & a_{14}\\ a_{21}& a_{23} & a_{24} \\ a_{31}&a_{33} & a_{34}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&4&1\\ 1& 2 & 2-a \\ -1&a & a-2\end{vmatrix}=(a-1)(a+2)=0\Leftrightarrow a= \left\{\begin{matrix}-2 \\ 1\end{matrix}\right.$
y
$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12} & a_{13}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}&a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&3&4\\ 1& a & 2 \\ -1&2 & a\end{vmatrix}=(a-1)(a+2)=0\Leftrightarrow a= \left\{\begin{matrix}-2 \\ 1\end{matrix}\right.$
De lo cual se deduce que:
i) Si $a\in \{-2,1\}$, $\text{rango}(A)=2$
ii) Si $a\notin \{-2,1\}$, $\text{rango}(A)=3$

II) Comentaremos también el método de Gauss. Procedemos a obtener la matriz escalonada de $A$ por reducción de Gauss, pues la matriz escalonada así obtenida es equivalente en rango a la matriz original. El análisis, por este método, consiste en contar el número de filas no identicamente nulas de la matriz escalonada de Gauss que obtendremos, pues éste proporciona el rango de dicha matriz ( y por tanto el de la matriz original ) para el valor o valores del parámetro $a$ que correspondan con las situaciones que aparezcan:

$\begin{pmatrix}1&3&4&1 \\ 1 & a & 2 & 2-a \\ -1 & 2 & a & a-2 \end{pmatrix} \overset{f_2+f_3\,\rightarrow\, f_3\,,\,-f_1+f_2\,\rightarrow\, f_2}{\sim} \begin{pmatrix}1&3&4&1 \\ 0 & a-3 & -2 & 1-a \\ 0 & a+2 & a+2 & 0 \end{pmatrix}\sim$
$\overset{-(a+2)\,f_2+(a-3)\,f_3\,\rightarrow\, f_3}{\sim} \begin{pmatrix}1&3&4&1 \\ 0 & a-3 & -2 & 1-a \\ 0 & 0 & (a+2)(a-1) & (a+2)(a-1) \end{pmatrix}$
De lo cual se deduce que:
i) Si $a\in \{-2,1\}$, el número de filas no identicamente nulas de la matriz escalonada de Gauss es $2$, luego $\text{rango}(A)=2$
ii) Si $a\notin \{-2,1\}$, el número de filas no identicamente nulas de la matriz escalonada de Gauss es $3$, luego $\text{rango}(A)=3$


b) Observemos que $A_{3\times 4}\,M_{4\times 3} \rightarrow C_{3\times 3}$, así que siendo cuadrada, esta matriz tiene asociada matriz inversa, sólo en el caso de que sea regular.
Para $a:=0$, $C\overset{.}{=}\begin{pmatrix}1&3&4&1 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3&1 \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & -2 \end{pmatrix}$ y como $\begin{vmatrix}1&3&1 \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & -2 \end{vmatrix}=-2\neq 0$, $C$ es regular, y, por tanto, inversible.

Calcularemos ahora la inversa de $C$ por el método de Gauss-Jordan ( que es un método de reducción ), efectuando operaciones elementales entre filas para transformar la matriz $(C|I)$ en la matriz $(I|C^-1)$
$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&3&1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \overset{-f_1+f_2\,\rightarrow\,f_2\,,\,f_2+f_3\,\rightarrow\,f_3}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&3&1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \rightarrow$

$\overset{2f_2+3f_3\,\rightarrow\,f_3}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&3&1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 5 & 3 \end{array}\right) \overset{-f_2+f_1\,\rightarrow\,f_1\,,\,-f_3+2f_2\,\rightarrow\,f_2}{\rightarrow}$

$\rightarrow\,\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&6&0 & 2 & -1 & 0\\ 0 & -6 & 0 & 0 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 5 & 3 \end{array}\right) \overset{f_1+f_2\,\rightarrow\,f_2}{\rightarrow}
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&0&0 & 2 & -4 & -3\\ 0 & -6 & 0 & 0 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 5 & 3 \end{array}\right)\rightarrow$

$\overset{(-1/6)\,f_2 \,\rightarrow f_2\,,\,(1/2)\,f_3\,\rightarrow\,f_3}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&0&0 & 2 & -4 & -3\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 5/2 & 3/2 \end{array}\right)$

Así pues, $$C^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -4 & -3\\ 0 & 1/2 & 1/2 \\ -1 & 5/2 & 3/2 \end{pmatrix}$$

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Nota: Si bien no lo haré aquí (para no alargarme demasiado), recordad que también podéis calcular la matriz inversa por el método de la matriz de los elementos adjuntos: $C^{-1}=\dfrac{1}{\text{det(C)}}\,(\text{Adj}(A))^t=\dfrac{1}{\text{det(C)}}\,\text{Adj}(A^t)$. Aquí podéis leer un artículo (en este mismo blog) donde expongo un ejemplo de cálculo de la matriz inversa (por el método de la matriz de los adjuntos) asociada a una matriz regular que también es de orden $3$, pero distinta a la este ejercicio.
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Un ejercicio sobre los teoremas de la probabilidad total y de Bayes

ENUNCIADO. Una compañía farmacéutica vende un medicamento que alivia la dermatitis atópica en un $80\,\%$ de los casos. Si un enfermo es tratado con placebo, la probabilidad de mejoría espontánea es del $10\,\%$. En un estudio experimental, la mitad de los pacientes han sido tratados con el medicamento y la otra mitad con un placebo. Se pide:
a) Calcúlese la probabilidad de que un paciente elegido al azar haya mejorado
b) Si de un paciente elegido al azar se sabe que ha mejorado, hállese la probabilidad de que haya sido tratado con el medicamento

SOLUCIÓN.
En referencia al paciente elegido al azar, denotemos por $A$ al suceso "ser tratado con medicamento"; por $B$, al suceso "ser tratado con placebo", y por $M$ al suceso "experimentar mejora".

a)
Los sucesos $A$ y $B$ constituyen un conjunto completo de sucesos, pues son disjuntos y el espacio muestral $\Omega$ es la unión de los dos ( decimos que $A$ y $B$ son una partición de $\Omega$ ). Observemos la siguiente figura:

Como $M=(M\cap A)\cup (M \cap B)$ y los sucesos $M\cap A$ y $M\cap B$ son incompatibles, esto es $(M\cap A)\cap (M\cap B)=\emptyset$, entonces podemos escribir $$P(M)=P(M\cap A) + P(M\cap B)$$ Teniendo en cuenta la fórmula de la probabilidad condicionada $$P(M)=P(M|A)\cdot P(A)+P(M|B)\cdot P(B)$$ y, con los datos del problema llegamos a la expresión de la probabilidad total ( teorema de la probabilidad total ) $$P(M)=\dfrac{80}{100}\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{10}{100}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{9}{20}=45\,\%$$

b)
Como $P(A \cap M) = P(M \cap A)$ tenemos que $P(A|M)\cdot P(M)=P(M|A)\cdot P(A)$, de donde se deduce ( teorema de Bayes ): $$P(A|M)=\dfrac{P(M|A)\cdot P(A)}{P(M)}$$ Sustituyendo los datos y el resultado anterior: $$P(A|M)=\dfrac{(8/10)\cdot (1/2)}{9/20}=\dfrac{8}{9}\approx 89\,\%$$

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Nota 1: Podemos resolver también el problema con la ayuda de la tabla de contingencia:

Nota 2: También puede ser útil el siguiente diagrama de árbol

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Un ejercicio más sobre análisis de funciones

ENUNCIADO. Dada la función $f(x)=\left|\sqrt{4x^2-x^4}\right|$, se pide:
a) El dominio de definición de dicha función
b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento
c) Calcular los límites laterales $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0^{-}}\,\dfrac{f(x)}{x}$ y $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0^{+}}\,\dfrac{f(x)}{x}$

SOLUCIÓN.
a) $f(x)=\left|\sqrt{4x^2-x^4}\right|=x\,\left|\sqrt{4-x^2}\right|$ y para que un $x\in \mathbb{R}$ tenga imagen deberá cumplirse que $4-x^2 \ge 0 \Leftrightarrow x^2 \le 4 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \le 2 \\ y \\ x\ge -2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in [-2,2]\subset \mathbb{R}$

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento/decrecimiento vamos a buscar primero los extremos relativos (e.r.) y a determinar su naturaleza. La condición necesaria que debe cumplir un $x\in \text{Dom}\,f$ para que sea e.r. es que su derivada primera sea nula: $f'(x)=0$. Derivando la función se obtiene $$f'(x)=2\,\dfrac{2-x^2}{|\sqrt{4-x^2}|}=0 \Leftrightarrow 4-x^2=0 \Leftrightarrow x^*=\left\{ \begin{matrix}-|\sqrt{2}| \\ \\ |\sqrt{2}|\end{matrix}\right.$$

Veamos la naturaleza de estos extremos relativos, utilizando el criterio del cambio de signo de la primera derivada en los puntos a la izquierda y a la derecha del extremo relativo. Es fácil comprobar que:

$f'(-2 \prec x \prec -|\sqrt{2}|)\succ 0$ y $f'(-|\sqrt{2}| \prec x \prec 0)\succ 0$, luego $x_{1}^*=-|\sqrt{2}|$ es la abscisa de un máximo relativo [1]

$f'(0 \prec x \prec |\sqrt{2}|)\succ 0$ y $f'( -|\sqrt{2}| \prec x \prec 2)\prec 0$, luego $x_{2}^*=|\sqrt{2}|$ es la abscisa de otro máximo relativo [2]

La gráfica de la función pasa por el origen de coordenadas, pues $f(0)=0$; y, por otra parte, las raíces de la función son $f(x)=0\Leftrightarrow 4x^2-x^4=0 \Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}-2\\ 0 \\ 2\end{matrix}\right.$ y por tanto corta al eje de abscisas en los puntos $(-2,0)$, $(0,0)$ y $2,0)$, por lo que teniendo también en cuenta [1] y [2] se deduce de todo ello que la función no es derivable en $x=0$ ( véase el esquema de la gráfica a continuación ).

De lo anterior se deduce que la función crece en los intervalos $I_{1}^{\uparrow}=(-2,-|\sqrt{2}|)$ y $I_{2}^{\uparrow}=(0,|\sqrt{2}|)$; por otra parte, decrece en los intervalos $I_{3}^{\downarrow}=(-|\sqrt{2}|,0)$ y $I_{4}^{\downarrow}=(|\sqrt{2}|,2)$

c)
La función $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}=|\sqrt{4-x^2}|$ corresponde a la gráfica de la media circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio igual a $|\sqrt{4}|=2$ que queda por encima del eje de abscisas, luego toma valores positivos a la derecha y a la izquierda de $x=0$.

En consecuencia:

$\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0^{-}}\,\dfrac{f(x)}{x}=\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0^{+}}\,\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\,\rightarrow\,0}\,(|\sqrt{4-x^2}|)=2$

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Otro ejercicio en el espacio euclídeo R^3

ENUNCIADO. Dados el punto $A(2,1,0)$ y el plano $\pi \equiv 2x+3y+4z=36$, se pide:
a) La distancia del punto $A$ al plano $\pi$
b) Hallar las coordenadas del punto del plano $\pi$ más próximo a $A$
c) Hallar el punto simétrico de $A$ respecto al plano $\pi$

SOLUCIÓN.
a) Es sabido que la distancia euclídea de un punto $A(x_A,y_A,z_A)$ a un plano $\pi\equiv ax+by+cz+d=0$ viene dada por $$\text{dist}(A,\pi)=\dfrac{\left|a\,x_A+b\,y_A+c\,z_A\right|}{\left|\sqrt{a^2+b^2+c^2}\right|}$$ entonces, con los datos del enunciado, $$\text{dist}(A,\pi)=\dfrac{\left|2\cdot 2+3\cdot 1+0\cdot 4-36\right|}{\left|\sqrt{2^2+3^2+4^2}\right|}=|\sqrt{29}|\,\text{unidades de longitud}$$

b) Sea el punto $X(x,y,z)$ de $\pi$ cuya distancia al punto $A(2,1,0)$ sea mínima, entonces $\overset{\rightarrow}{AX} \perp \pi \Rightarrow \overset{\rightarrow}{AX} \propto \vec{n}_\pi:=(2,3,4)$, siendo éste un vector perpendicular al plano $\pi$; en consecuencia, $\overset{\rightarrow}{AX}\times \vec{n}_{\pi}=\vec{0}$, y, teniendo en cuenta la definición de producto vectorial y que $\overset{\rightarrow}{AX}=\overset{\rightarrow}{OX}-\overset{\rightarrow}{OA}=(x-2,y-1,z-0)$, podemos escribir esta condición de la forma
$$\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ x-2&y-1&z-0\\ 2& 3& 4\end{vmatrix}=(0,0,0)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}4(y-1)-3z=0\\2z-4(x-2)=0\\3(x-2)-2(y-1)=0\end{matrix}\right.$$ Estas tres ecuaciones, junto con la ecuación del plano ( pues $X \in \pi$ ), forman un sistema de ecuaciones cuya solución ha de ser el punto pedido: $$\left\{\begin{matrix}2x&+&3y&+&4z&=&36 \\ &&4y&-&3z&=&4 \\ -4x&&&+&2z&=&-8 \\ 3x&-&2y&&&=&4\end{matrix}\right.\overset{\text{Gauss}}{\sim}\left\{\begin{matrix}x=4\\y=4\\z=4\end{matrix}\right. $$

c) El punto hallado en el apartado anterior, $I(4,4,4)$, tiene que ser el punto de intersección del plano $\pi$ con la recta $r$ que pasa por $A(2,1,0)$ y es perpendicular a dicho plano, ya que la distancia entre $I$ y $A$ es mínima y por tanto $\overset{\rightarrow}{AI} \perp \pi$. Denominemos $A'\in r$ al punto simétrico de $A$ con respecto a $\pi$, entonces deberá cumplirse que $$\overset{\rightarrow}{AA'}=2\,\overset{\rightarrow}{AI}$$ esto es $$(x_{A'}-2,y_{A'}-1,z_{A'}-0)=2\,(4-2,4-1,4-0)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{A'}=6\\y_{A'}=7\\ z_{A'}=8\end{matrix}\right.\rightarrow A'(6,7,8)$$
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Resolución de problemas de aritmética mediante el álgebra. Sistemas de ecuaciones lineales. Álgebra lineal

ENUNCIADO. Un estudiante pidió en la cafetería $3$ bocadillos, $2$ refrescos y $2$ bolsas de patatas y pagó un total lde $19$ euros. Al mirar la cuenta comprobó que le habían cobrado un bocadillo y una bolsa de patatas de más. Reclamó y le devolvieron $4$ euros.
Para compensar las molestias, el error lel ofreció llevarse un bocadillo y un refresco por sólo $3$ euros, lo que suponía un descuento del $40\,\%$ con respecto a sus precios originales.
¿ Cuáles eran los respectivos precios sin descuento de un bocadillo, un refresco y de una bolsa de patatas ?

SOLUCIÓN.
Denotemos por $b$ el número de bocadillos; por $r$, el número de refrescos, y por $p$ el número de bolsas de patatas. Según el enunciado, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones, que reduciremos por Gauss:
$\left\{\begin{matrix}3b&+&2r&+&2p&=&19-4 \\ b&&&+&p&=&4 \\ b&+&r&&&=&5 \end{matrix}\right.\overset{-3e_2+e_1\rightarrow e_2\,,\,-3e_3+e_1\rightarrow e_3}{\sim}$
    $\sim \left\{\begin{matrix}3b&+&2r&+&2p&=&15 \\ &&2r&-&p&=&3 \\ &&-r&+&2p&=&0 \end{matrix}\right.\overset{2e_3+e_2\rightarrow e_2}{\sim}$
        $\sim \left\{\begin{matrix}3b&+&2r&+&2p&=&15 \\ &&2r&-&p&=&3 \\ &&&&3p&=&3 \end{matrix}\right.$
De la tercera ecuación, despejamos $p$ y obtenemos $p=1$ euro; sustituyendo este resultado en la segunda ecuación, llegamos a $2r-1=3 \Rightarrow r=2$ euros. Y sustituyendo los dos resultados obtenidos en la primera ecuación ( o, mejor, en la segunda original ), encontramos $b=3$ euros.
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Otro ejercicio de álgebra lineal

ENUNCIADO. Se considera el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&4 \\ 3x&+&4y&+&5z&=&5 \\ 7x&+&9y&+&11z&=&a \end{matrix}\right.\;,\; \text{siendo}\; a\; \text{un parámetro real}$$ Se pide:
a) Los valores de $a$ para los que el sistema es compatible y los valores de $a$ para los que el sistema es incompatible
b) Todas las soluciones del sistema cuando sea compatible
c) La discusión de la compatibilidad y determinación del nuevo sistema de ecuaciones que se obtiene al cambier el coeficiente $a_{33}=11$ por cualquier otro número diferente

SOLUCIÓN
a) La matriz ampliada de los coeficientes del sistema con la columna de los términos independientes es $$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4 \\ 3 & 4 & 5 & 5 \\ 7 & 9 & 11 & a\end{array}\right)$$ Esta vez, realizaremos el análisis de rangos empleando el método de los determinantes, si bien, desde luego, podríamos hacerlo también mediante la reducción de Gauss.

Observemos que el determinante de la submatriz $$\begin{pmatrix}a_{11}^* & a_{12}^* \\ a_{21}^* & a_{22}^* \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$ es distinto de cero $$\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=1\cdot 4-3\cdot 1=1\neq 0$$ luego los rangos de las matrices $A^*$ y $A$ ( matriz de los coeficientes del sistema ) son, al menos, $2$. Orlando dicha submatriz vemos que aparecen dos menores complementarios de orden $3$: $$\begin{vmatrix}1&1&1\\3&4&5\\7&9&11\end{vmatrix}=0$$ y $$\begin{vmatrix}1&1&4\\3&4&5\\7&9&a\end{vmatrix}=a-14=0 \Leftrightarrow a=14$$ de lo cual se deduce:

  Caso I) Si $a=14$, entonces $r\overset{.}{=}\text{rango}(A)=\text{rango}(A^*)=2\prec n=3$ ( $n$ indica el número de incógnitas del sistema ), luego por el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria

  Caso II) Si $a\neq 14$, entonces $\text{rango}(A)=2 \neq \text{rango}(A^*)=3$, luego por el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es incompatible

b)
Estamos en el caso (I), siendo por tanto $a:=14$. Como hemos encontrado un menor complementario de orden $2$ que involucra las dos primeras filas de la matriz ampliada, un sistema equivalente al original es $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+z&=&4\\3x&+&4y&+5z&=&5 \end{matrix}\right.$$ ya que la tercera ecuación es combinación lineal de las dos primeras. Elegimos una variable como secundaria, pongamos que $z$, entonces $z=\lambda$, con lo cual podemos escribir el subsistema formado por las dos primeras ecuaciones de la forma $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&=&4-\lambda\\3x&+&4y&=&5-5\lambda \end{matrix}\right. \overset{-3\,e_1+e_2 \, \rightarrow e_2}{ \sim} \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&4-\lambda\\&&y&=&-2\lambda-7\end{matrix}\right.$$ finalmente, sustituyendo la expresión de $y$ que depende de $\lambda$ en la primera ecuación, y depejando $x$, llegamos a $x=\lambda+11$.

Por consiguiente, la solución del sistema viene dado por las infinitas ternas de números de la forma $$\{(x,y,z)=(\lambda+11,-2\lambda-7,\lambda):\lambda \in \mathbb{R}$$

c)
Denotemos por $b$ al coeficiente $a_{33}^*\neq 11$, entonces la matriz ampliada del sistema es $$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4 \\ 3 & 4 & 5 & 5 \\ 7 & 9 & b & a\end{array}\right) \overset{-3f_1+f_2\,\rightarrow f_2\,,\,-7f_1+f_3\,\rightarrow f_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4 \\ 0 & 1 & 2 & -7 \\ 0 & 2 & b-7 & a-28\end{array}\right) \overset{-2f_2+f_3\rightarrow f_3}{\sim}$$
$$\sim \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4 \\ 0 & 1 & 2 & -7 \\ 0 & 0 & b-11 & a-14\end{array}\right)$$ y como $b\neq 11$ tenemos un único caso en que $r\overset{.}{=}\text{rango}(A)=\text{rango}(A^*)=3=n$, por lo que según el teorema de Rouché-Fröbenius el sistema es compatible determinado para cualquier valor de $a$, con lo cual la solución está formada por una única terna de números.

Como ya hemos reducido la matriz ampliada, un sistema equivalente al original es $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&4 \\ &&y&+&2z&=&-7 \\ &&&&(b-11)\,z&=&a-14 \end{matrix}\right.$$ Despejando $z$ de la última ecuación, $$z=\dfrac{a-14}{b-11}\;, \text{con}\; b\neq 11$$

Iniciando la sustitución regresiva, vemos que sustituyendo el valor encontrado para $z$ en la segunda ecuación y despejando la incóngita $y$ encontramos $$y=2\cdot \dfrac{14-a}{b-11}-7\;, \text{con}\; b\neq 11$$

Y, sustituyendo los dos valores encontrados en la primera ecuación y despejando $x$: $$x= \dfrac{a-14}{b-11}+11\;, \text{con}\; b\neq 11$$
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Otro ejercicio de geometría. Problemas métricos en el espacio euclídeo R^3

ENUNCIADO. Se considera el plano $\pi\equiv 9x+12y+20z-180=0$. Se pide:
a) Las ecuaciones de los dos planos paralelos a $\pi$ que distan $4$ unidades del mismo
b) Las coordenadas de los puntos $A,B$ y $C$ intersección del plano $\pi$ con los ejes Ox, Oy y Oz
c) El valor del ángulo formado entre los vectores $\overset{\rightarrow}{AB}$ y $\overset{\rightarrow}{AC}$
c) El volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen de coordenadas y los puntos $A,B$ y $C$

SOLUCIÓN.
a) Todo plano $\sigma$ paralelo a $\pi$ que diste de él $4$ unidades deberá tener los mismos coeficientes $a,b$ y $c$ en su ecuación general que los del plano $\pi$, pues ambos tienen el mismo vector característico $\vec{n}_{\sigma}=\vec{n}_{\pi}=(a,b,c)=(9,12,20)$, por lo que su ecuación general $\sigma\equiv ax+by+cz+d_{\sigma}=0$ es $$\sigma\equiv 9x+12y+20z+d_{\sigma}=0$$

Sabemos que $4=\text{dist}(\sigma,\pi)=\text{dist}(P_{\sigma},\pi)$, y escogiendo $P_{\sigma}=(0,0,-d_{\sigma}/20)$, podemos escribir
$$4=\dfrac{\left|9\cdot 0+12\cdot 0+20\cdot (-d_{\sigma}/20) -180 \right|}{\left|\sqrt{9^2+12^2+20^2}\right|}$$ y por tanto $$\dfrac{\left|-d_{\sigma}-180\right|}{25}=4$$ luego $$\left|-d_{\sigma}-180\right|=100 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-d_{\sigma}-180=100 \Rightarrow d_{{\sigma}_{1}}=-280 \\ -(-d_{\sigma}-180)=100 \Rightarrow d_{{\sigma}_{2}}=-80 \\ \end{matrix}\right.$$

Por lo que los dos planos pedidos son: $$\begin{matrix}\sigma_1\equiv 9x+12y+20z-280=0\\ \text{y} \\ \sigma_2\equiv 9x+12y+20z-80=0\end{matrix}$$

b.i)
El eje Ox viene dado por la intersección de los siguientes planos $\left\{\begin{matrix}y=0\\z=0\end{matrix}\right.$; el eje Oy por $\left\{\begin{matrix}x=0\\z=0\end{matrix}\right.$, y el eje Oz por $\left\{\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.$

Así pues
$$A=\pi \cap Ox \equiv \left\{\begin{matrix}97x+12y+20z -180 =0\\ y=0 \\ z=0\end{matrix}\right.,\;\text{luego}\; A=(180/9,0,0)=(20,0,0)$$
$$B=\pi \cap Oy \equiv \left\{\begin{matrix}9x+12y+20z -180 =0\\ x=0 \\ z=0\end{matrix}\right.,\;\text{luego}\; A=(0,180/12,0)=(0,15,0)$$
$$C=\pi \cap Oz \equiv \left\{\begin{matrix}9x+12y+20z -180 =0\\ x=0 \\ y=0\end{matrix}\right.,\;\text{luego}\; C=(0,0,180/20)=(0,0,9)$$

b.ii)

$\overset{\rightarrow}{AB}=\overset{\rightarrow}{OB}-\overset{\rightarrow}{OA}=(0,15,0)-(20,0,0)=(-20,15,0)$

$\overset{\rightarrow}{AC}=\overset{\rightarrow}{OC}-\overset{\rightarrow}{OA}=(0,0,9)-(20,0,0)=(-20,0,9)$

$\measuredangle ( \overset{\rightarrow}{AB}, \overset{\rightarrow}{AC} )=\arccos \, \dfrac{\langle (-20,15,0),(-20,0,9) \rangle}{\left\|(-20,15,0)\right\|\cdot \left\|(-20,0,9)\right\|}=\arccos \, \dfrac{400}{25\,|\sqrt{481}|}\approx 43,2^{\circ}$

Nota: Con la notación $\langle .\,,\,.\rangle$ se designa el producto escalar de dos vectores

c) Un prisma tal como el formado por los vectores $\overset{\rightarrow}{OA}$, $\overset{\rightarrow}{OB}$, $\overset{\rightarrow}{OC}$ se descompone en $6$ tetraedros iguales, luego
$$\displaystyle V_{\text{tetraedro}}=\dfrac{1}{6}\,V_{\text{prisma}}=\dfrac{1}{6}\,\left|\left[ \overset{\rightarrow}{OA},\overset{\rightarrow}{OB},\overset{\rightarrow}{OB}\right] \right| \quad \quad [1]$$

Nota: La notación $[.,.,.]$ designa el producto mixto de tres vectores

Calculemos el producto mixto:
$$\displaystyle \left[ \overset{\rightarrow}{OA},\overset{\rightarrow}{OB},\overset{\rightarrow}{OB}\right]=\begin{vmatrix} 20 & 0 & 0 \\ 0 & 15 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{vmatrix}=2700$$

Así pues, de [1], $$\displaystyle V_{\text{tetraedro}}=\dfrac{1}{6}\cdot |2700|=\dfrac{2700}{6}=450\,\text{unidades de volumen}$$

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