Cálculo de probabilidades con las distribuciones binomial y normal.

ENUNCIADO. Una empresa ha llevado a cabo un proceso de selección de personal.
a) Se sabe que el $40\,\%$ del total de los aspirantes ha sido seleccionado. Si entre los aspirantes había un grupo de $8$ amigos, calcúlese la probabilidad de que al menos $2$ de ellos hayan sido seleccionados.
b) Las puntuaciones obtenidas por los aspirantes en el proceso de selección siguen una distribución normal, $X$, de media $5.6$ y desviación típica $\sigma$. Sabiendo que $P\{X\le 8.2\}=0.67$, calcúlese el valor de $\sigma$

SOLUCIÓN.
a) Denotemos por $S$ a la variable aleatoria "número de amigos del grupo que han sido seleccionados". Los valores posibles de dicha v.a. son $0,1,2,3,\ldots,8$. Es claro que $S$ sigue una distribución binomial de parámetros $n=8$ y probabilidad de éxito $p=40/100=2/5$ ( y probabilidad de fracaso $q=1-p=3/5$). Entonces, $\displaystyle P\{X\ge 2\}=1-P\{X\le 1\}=1-\left( \binom{8}{0}\cdot (2/5)^{0}\cdot (3/5)^8 + \binom{8}{1}\cdot (2/5)^{1}\cdot (3/5)^7 \right)=$
  $=\displaystyle 1-(3/5)^8 - 8 \cdot (2/5)\cdot (3/5)^7 \approx 0,8936$

b) La variable aleatoria $X$ (puntuación) sigue una distribución $N(5.6,\sigma)$. Entonces, tipificando la variable $X$, pasamos a la v.a. $Z$ que sigue una distribución normal $N(0,1)$, luego $P\{X\le 8.2\}=P\{Z\le (8.2-5.6)/\sigma\}=P\{Z\le 2.6/\sigma\}$; por otra parte, sabemos que dicha probabilidad ha de ser igual a $0.67$, así que, consultando en el interior de las tablas de la función de distribución $F(z)$, encontramos para dicho valor ( $0.67$ ), la abscisa crítica $z^*=0.44$, luego $$\dfrac{2.6}{\sigma}=0.44 \Leftrightarrow \sigma=\dfrac{2.6}{0.44}\approx 5,91$$
$\square$