Cálculo de probabilidades. Teorema de la probabilidad total. Teorema de Bayes.

ENUNCIADO. En una empresa, el $40\,\%$ de los trabajadores son mujeres. Se sabe que están haciendo un determinado curso de formación el $20\,\%$ de los varones y el $30\,\%$ de las mujeres, respectivamente. Se elige, al azar, una persona que trabaje en la empresa. Se pide la probabilidad de que:
a) Esté haciendo el curso de formación
b) Sea un varón, sabiendo que está haciendo dicho curso de formación

SOLUCIÓN.

Denotemos por $M$ al suceso "elegir una persona de la empresa que sea mujer"; por $V$, al suceso "elegir una persona de la empresa que sea vaŕon", y por $F$ al suceso "elegir una persona de la empresa que esté haciendo el curso de formación"

a)
Como los sucesos $V$ y $M$ constituyen una partición del espacio muestral, por el teorema de la Probabilidad Total, podemos escribir $$P(F)=P(F|V)P(V)+P(F|M)P(M)$$ De los datos del problema, sabemos que $P(M)=0,4$, y, por tanto, $P(V)=1-0,4=0,6$; y, además, $P(F|V)=0,2$ y $P(F|M)=0,3$; por consiguiente, $$P(F)=0,2\cdot 0,6+0,3 \cdot 0,4 = 0,24$$

b)
Por el teorema de Bayes, podemos escribir $$P(V|F)=\dfrac{P(F|V)P(V)}{P(F)}$$ y, con los datos del problema, encontramos $$P(V|F)=\dfrac{0,2\cdot 0,6}{0,24}=0,5$$
$\square$

Análisis de funciones reales de una variable real

ENUNCIADO. Se considera la función real de una variable real $$f(x)=\dfrac{3x}{1-x^2}$$ Se pide:
a) Las rectas asíntotas, si las hubiese
b) Las abscisas de los puntos de inflexión, de haber alguno
c) El área del recinto limitado por la gráfica de la función y la recta $y=4x$

SOLUCIÓN.
a)
Asíntotas verticales:
Son del tipo $\text{a.v.}\equiv x=a$, donde $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \,f(x) = +\infty$$ o bien $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a }\,f(x) = -\infty$$ Estos valores de $a$ son los que anulan el denominador de la función ( sin anular el numerador ): $$1-x^2 =0 \Leftrightarrow x=\pm 1$$ pues, en efecto, se puede comprobar que $$\displaystyle \lim_{x\, \rightarrow\, -1^{-}}\,f(x)=+\infty\;\; \text{y} \;\; \displaystyle \lim_{x\, \rightarrow\, -1^{+}}\,f(x)=-\infty$$ y $$\displaystyle \lim_{x\, \rightarrow\, 1^{-}}\,f(x)=-\infty \;\; \text{y} \;\; \displaystyle \lim_{x\, \rightarrow\, 1^{+}}\,f(x)=+\infty$$ Así pues, encontramos dos asíntotas verticas: $$\text{a.v.}_1\equiv x=-1$$ y $$\text{a.v.}_2\equiv x=1$$

Asíntotas oblicuas:
Para encontrar las asíntotas oblicuas, $\text{a.o.}\equiv y=mx+k$, tendremos que calcular primero la pendiente, $m$:
$\displaystyle m\overset{\text{def}}{=} \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,f'(x) \overset{\text{def. equiv.}}{=} \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{3x}{x(1-x^2)}=$
    $=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{3}{1-x^2}=\dfrac{3}{1-\infty}=0$
A continuación, calculamos la ordenada en el origen, $k$:
$\displaystyle k\overset{\text{def}}{=}\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\left( f(x)- m\,x\right)=\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \left( f(x) - 0 \right)=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{3x}{1-x^2}=0$ ( por ser el grado del polinomio del denominador mayor que el del numerador )
Encontramos pues una asíntota horizontal, como un caso particular de asíntota oblicua con pendiente nula: $$\text{a.h.}\equiv y=0$$

b)
Las abscisas de los puntos de inflexión son las raíces de la función segunda derivada ( condición necesaria ): $$f''(x)=0$$
Derivando una vez la función $f(x)$ obtenemos -- dejo al lector que reproduzca el cálculo rutinario --: $$f'(x)=3\cdot\dfrac{x^2+1}{(x^2-1)^2}$$

Nota: Démonos cuenta de que esta función no tiene raíces, pues el numerador no se anula para ningún valor de $x$, luego no hay extremos relativos

Y derivando, a su vez, la función primera derivada, llegamos a la función segunda derivada $$f''(x)=-6\cdot \dfrac{x\,(x^2+3)}{(x^2-1)^3}$$ Con lo cual $$-6\cdot \dfrac{x\,(x^2+3)}{(x^2-1)^3}\Leftrightarrow x=0$$

Si bien no se pide en el enunciado, un bosquejo de la gráfica de la función es el de la figura siguiente:

c)
Los puntos de corte de la gráfica de la función $y=4x$ con la gráfica de la función del integrando $f(x)=\dfrac{3x}{1-x^2}$ son las soluciones de la ecuación $$4x = \dfrac{3x}{1-x^2}$$ y, por tanto ( dejo al lector el cálculo elemental ), de $$4x^3-x=0$$ Sacando factor común de $x$ en el primer miembro, vemos que $$x\,(4x^2-1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 \\ 4x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm \,\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ Tenemos por tanto tres puntos de corte, cuyas abscisas son $-1/2$, $0$ y $1/2$. Entonces,
$$\displaystyle \mathcal{Área}=\left| \int_{-1/2}^{0}\,f(x)\,dx \right| + \left| \int_{0}^{1/2}\,f(x)\,dx \right|\overset{\text{Barrow}}{=}|F(0)-F(-1/2)|+|F(1/2)-F(0)|$$

Calculando la integral definida de $f(x)$ encontraremos una función primitiva $F(x)$: $$\displaystyle \int\,\dfrac{3x}{1-x^2}\,dx = \dfrac{3}{2}\,\int\,\dfrac{2\,x\,dx}{1-x^2} = -\dfrac{3}{2}\,\int \,\dfrac{d(x^2-1)}{x^2-1} = -\dfrac{3}{2}\,\ln \, |x^2-1|+C$$ y eligiendo un valor cualquiera para la constante de integración, pongamos que $C:=0$, una función primitiva es $F(x)=-\dfrac{3}{2}\,\ln \, |x^2-1|$

Así pues,
$|F(0)-F(-1/2)|=\left|-\dfrac{3}{2}\cdot \ln\,|0-1|- (-\dfrac{3}{2})\cdot |\ln\,|(-1/2)^2-1|\right|=$
  $=-\dfrac{3}{2}\,\ln\,(3/4)=\dfrac{3}{2}\,\ln\,(4/3)$
y
$|F(1/2)-F(0)|=\left|-\dfrac{3}{2}\cdot \ln\,|(1/2)^2-1|- (-\dfrac{3}{2})\cdot |\ln\,|0-1|\right|=$
  $=-\dfrac{3}{2}\,\ln\,(3/4)=\dfrac{3}{2}\,\ln\,(4/3)$
por tanto,
$\mathcal{Área}=\dfrac{3}{2}\,\ln\,(4/3)+\dfrac{3}{2}\,\ln\,(4/3)=2\cdot \dfrac{3}{2}\,\ln\,(4/3)=$
    $=3\,\ln\,(4/3)\;\text{unidades arbitrarias de área}$
$\square$

Geometría analítica. Espacio euclídeo

ENUNCIADO. Dado el punto $P(1,0,1)$ y la recta $r\equiv x=-y=z$, se pide:
a) La distancia euclídea de $P$ a $r$
b) Considérese el plano $\pi \equiv z=0$, ¿ cuál es la distancia euclídea entre $P$ y $\pi$ ?
c) Considérense los puntos $O(0,0,0)$, $A(2,0,0)$, $B(0,3,0)$ y $C(0,0,1)$. Calcúlese el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos referidos.

SOLUCIÓN.
a)
Hemos demostrado en clase que $$d(P,r)=\dfrac{\left\|\overset{\rightarrow}{AP} \times \vec{u}\right\|}{\left\|\vec{u}\right\|} \quad \quad (1)$$ donde $A$ es un punto de la recta $r$ y $\vec{u}$ es un vector en la dirección de la misma.

Como $r\equiv \dfrac{x-0}{1}=\dfrac{y-0}{-1}=\dfrac{z-0}{1}$, tomamos $$\vec{u}:=(1,-1,1) \Rightarrow \left|\vec{u}\right|=\left|\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}\right|=|\sqrt{3}|$$ por otra parte, $\overset{\rightarrow}{AP}=\overset{\rightarrow}{OP}-\overset{\rightarrow}{OA}=(1-0,0-0,1-0)=(1,0,1)$ con lo cual $$\overset{\rightarrow}{AP} \times \vec{u} = (1,0,1) \times (1,-1,1) = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&0&1\\1&-1&1\end{vmatrix}=$$
$$=\begin{vmatrix}0&1\\-1&1\end{vmatrix}\,\vec{i}-\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}\,\vec{j}+\begin{vmatrix}1&0\\1&-1\end{vmatrix}\,\vec{k}=\vec{i}-\vec{k}=(1,0,-1)$$ Nota: $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica del espacio vectorial $\mathbb{R}^3$
Tenemos pues que $$\left\|\overset{\rightarrow}{AP} \times \vec{u}\right\|=\left|\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}\right|=|\sqrt{2}|$$ Así, de (1), $$d(P,r)=\left|\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right|\;\text{unidades arbitrarias de longitud}$$

b)
Hemos demostrado en clase que $$d(P,\pi)=\left|\dfrac{A\,x_P+B\,y_P+C\,z_P+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right| \quad \quad (2)$$ donde $A,B,C$ y $D$ son los coeficientes de la ecuación general del plano $\pi \equiv Ax+By+Cz+D=0$, esto es, en el caso que nos ocupa ( $\pi \equiv z=0$ ): $A=B=D=0$ y $C=1$. Por consiguiente, de (2), $$d(P\,\pi)=\left|\dfrac{0\cdot 1+0\cdot 0 +1\cdot 1+0}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}\right|=1\;\text{unidades arbitarias de longitud}$$

c)
Hemos visto en clase que el volumen de un tetraedro es igual a una sexta parte del volumen del paralelepípedo determinado por los tres vectores que partiendo de uno de sus vértices comprenden las tres aristas del mismo, es decir, una sexta parte del producto mixto de $\overset{\rightarrow}{OA}$, $\overset{\rightarrow}{OB}$ y $\overset{\rightarrow}{OC}$, esto es $$\mathcal{Volumen}=\dfrac{1}{6}\,\left|\,[\overset{\rightarrow}{OA},\overset{\rightarrow}{OB},\overset{\rightarrow}{OC}]\,\right|$$

Nota: Recordemos que el producto mixto de tres vectores $\vec{a}$, $\vec{b}$ y $\vec{c}$, se suele denotar como $[\vec{a},\vec{b}\,\vec{c}]$ y se define de la forma $\langle \vec{a}\,,\, \vec{b} \times \vec{c} \rangle = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$

Y teniendo encuenta que $\overset{\rightarrow}{OA}=(2,0,0)$, $\overset{\rightarrow}{OB}=(0,3,0)$ y $\overset{\rightarrow}{OC}=(0,0,1)$, tenemos que $$\mathcal{Volumen}=\dfrac{1}{6}\cdot \begin{vmatrix}2& 0& 0\\0 & 3 &0\\0 & 0 & 1\end{vmatrix}=\dfrac{1}{6}\cdot 2\cdot 3 \cdot 1=1\;(\text{unidades arbitrarias de longitud})^3$$

$\square$

Álgebra lineal. Sistemas de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. Considérese el sistema de ecuaciones lineales, con un parámetro $a\in \mathbb{R}$ $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ x&+&a\,y&+&z&=&0 \\ x&+&y&+&a\,z&=&a\end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) Discútase el sistema según los valores de $a$
b) Resuélvase el sistema para $a=2$

SOLUCIÓN.
a)
Reduciendo el sistema por Gauss, obtenemos un sistema equivalente que nos permitirá analizar su rango, según los valores de $a$:
$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ x&+&a\,y&+&z&=&0 \\ x&+&y&+&a\,z&=&a\end{matrix}\right. \overset{e_1-e_2 \rightarrow e_2\,,\,e_1-e_3 \rightarrow e_3}{\sim}$

$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ &+&(1-a)\,y&&&=&0 \\ &&&&(1-a)\,z&=&-a\end{matrix}\right.$

Encontramos los siguientes casos:
i) Observemos que si $a=1$, la segunda ecuación es trivial, pues nos queda $0=0$, y que, lo que es más remarcable, la tercera nos llevaa una contradicción, $0=1$, luego el sistema de ecuaciones es incompatible para ese valor de $a$
ii) Para cualquier otro valor de $a$ distinto de $1$ el rango del sistema es $3$ ( número de ecuaciones no identicamente nulas ), que es igual al número de incógnitas, luego el sistema es compatible determinado.

b)
Siendo $a:=2 \neq 1$ el sistema es compatible determinado ( segundo caso de la discusión del anterior apartado ), y, sustituyendo este valor del parámetro en el sistema ya reducido llegamos al siguiente sistema equivalente ( al original ): $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ &&-y&&&=&0 \\ &&&&-z&=&-2\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&-2 \\ &&y&&&=&0 \\ &&&&z&=&2\end{matrix}\right.$$

$\square$

Un ejercicio de discusión de un sistema de ecuaciones lineales según los valores que pueda tomar un parámetro

ENUNCIADO. Considérese el sistema de ecuaciones lineales en el que figura un un parámetro $a\in \mathbb{R}$ en algunos de sus coeficientes $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&mz&=&1\\x&+&my&+&z&=&0 \\ mx&+&y&+&z&=&0\end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) Discútase dicho sistema en función de los valores de $a$
b) Resuélvase si $m:=0$

SOLUCIÓN.
a)
La matriz ampliada de los coeficientes del sistema es $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 1 & m & 1 & 0 \\ m & 1 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ Procedomos a reducirla por Gauss, obteniendo, en el proceso, matrices equivalente en rango a la original.

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 1 & m & 1 & 0 \\ m & 1 & 1 & 0 \end{array}\right) \overset{f_1-f_2 \rightarrow f_2 \,,\, -m\cdot f_2+f_3 \rightarrow f_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 0 & 1-m & m-1 & 1 \\ 0 & (1-m)(1+m) & 1-m & 0 \end{array}\right)$
$$\overset{(-(1+m)\cdot f_2+f_3 \rightarrow f_3 }{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 0 & 1-m & m-1 & 1 \\ 0 & 0 & (1-m)(m+2) & -(1+m) \end{array}\right)$$

Entonces, por el teorema de Rouché-Fröbenius se tiene que:

I) Si $m \in\{-2\,m\,1\}$, $\text{rango}(A)=2$ y $\text{rango}(A|B)=3$, y, al no coincidir los rangos, el sistema es incompatible

II) Para $m \notin \in\{-2\,m\,1\}$, $\text{rango}(A)=\text{rango}(A|B)=3$, que es igual al número de incógnitas, luego el sistema es compatible determinado.

b) Si $m:=0$, nos encontramos en el segundo caso del apartado anterior, luego el sistema es compatible determinado. Procedamos a encontrar la solución.

Habiendo reducido la matriz ampliada por Gauss, un sistema equivalente es
$$\left\{\begin{matrix}x&+&y&&&=&1\\&&y&-&z&=&1 \\ &&&&2z&=&-1\end{matrix}\right.$$

Despejando $z$ de la tercera ecuación llegamos a $z=-\dfrac{1}{2}$; sustituyendo este valor en la segunda ecuación y despejando $y$, encontramos $y=\dfrac{1}{2}$; y, finalmente, sustituyendo estos dos valores en la primera ecuación, y despejando $x$, se obtiene $x=\dfrac{1}{2}$
$\square$

Probabilidad y estadística. Cálculo de probabilidades

ENUNCIADO. En una fábrica se elaboran dos tipos de productos: A y B. El $75\,\%$ de los productos fabricados son de tipo A y el $25\,\%$ de tipo B. Los productos de tipo B salen defectuosos un $5\,\%$ de las veces, mientras que los de tipo A salen defectuosos un $2,5\,\%$ de las veces.
a) Si se fabrican $5000$ productos en un mes, ¿ cuántos de ellos se espera que sean defectuosos ?
b) Un cierto mes, por motivos logísticos, se cambió la producción, de modo que se fabricaron exclusivamente productos de tipo A. Sabiendo que se fabricaron $6000$ unidades, determinar, aproximando la distribución por una normal, la probabilidad de que haya más de $160$ unidades defectuosas.

SOLUCIÓN.

Geometría analítica. Espacio euclídeo.

ENUNCIADO. Dados el punto $P(1,1,1)$ y las rectas $$r\equiv \left\{\begin{matrix}2x+y=2\\ 5x+z=6\end{matrix}\right.$$ $$s\equiv \dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-1}{1/3}$$ se pide:
a) Hallar la distancia del punto $P$ a la recta $r$
b) Estudiar la posición relativa de las rectas $r$ y $s$
c) Hallar el plano perpendicular a la recta $s$ que pasa por el punto $P$

SOLUCIÓN.

Análisis de funciones

ENUNCIADO. Dada la función $f(x)=\dfrac{|x|}{\sqrt{x^2+9}}$ ( donde se toman sólo los valores positivos de la raíz cuadrada ), se pide:
a) Determinar, si existen, las asíntotas horizontales de $f(x)$
b) Calcular $f'(4)$
c) Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de la función $y=f(x)$, el eje $Ox$, y las rectas $x=-1$ y $x=1$

SOLUCIÓN.

Álgebra lineal. Cálculo con matrices.

ENUNCIADO. Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}m&0&2 \\ -2&4&m\\ 0&1&-1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}-2\\0\\0\end{pmatrix}$, se pide:
a) Obtener los valores del parámetro $m$ para los cuales la matriz $A$ admite inversa
b) Para $m=0$, calcular $AB$ y $A^{-1}B$
c) Calcular $BB^{\top}$ y $B^{\top}B$

SOLUCIÓN.

Aplicaciones de los teoremas de la probabilidad total y de Bayes

ENUNCIADO. El $60\,\%$ de las ventas en unos grandes almacenes corresponden a artículos con precios rebajados. Los clientes devuelven el $15\,\%$ de los artículos que compran rebajados, porcentaje que disminuye al $8\,\%$ si los artículos han sido adquiridos sin rebajas.
a) Determínese el porcentaje global de artículos devueltos.
b) ¿ Qué porcentaje de artículos devueltos fueron adquiridos con precios rebajados ?

SOLUCIÓN. Consideremos la experiencia aleatoria 'elegir un producto al azar' ( entre todos los productos vendidos en esos almacenes ). Denotemos por $D$ al susceso "elegir un producto de los que se han devuelto", y, por $R$ al suceso "elegir un producto rebajado".

a) Calculemos la probabilidad de que el producto elegido sea de los que han sido devueltos. Esta probabilidad podemos interpretarla ( desde el punto de vista estadístico ) como el porcentaje de productos devueltos ( en el conjunto de productos vendidos ). Entonces, $$P(D)=P\left( (D \cap R ) \cup ( D \cap \bar{R} \right)$$ como los sucesos $D \cap R$ y $D \cap \bar{R}$ son incompatibles, llegamos al resultado del teorema de la probabilidad total, $$P(D)=P(D \cap R ) + P( D \cap \bar{R})$$ y por la fórmula de la probabilidad condicionada, $$P(D)=P(D|R)\cdot P(R)+P(D|\bar{R})\cdot P(\bar{R})$$ Poniendo los datos del problema, llegamos a $$P(D)=\dfrac{15}{100}\cdot \dfrac{60}{100}+\dfrac{8}{100}\cdot (1-\dfrac{60}{100})=\dfrac{61}{500}=0,122$$ resultado que interpretamos como el porcentaje pedido ( porcentaje global de artículos devueltos ), que es, por tanto, del $12\,\%$

b)
Intepretamos la probabilidad $P(R|D)$ como el porcentaje de artículos devueltos que fueron adquiridos con precios rebajados, que, por el teorema de Bayes lo podemos calcular de la manera siguiente $$P(R|D)=\dfrac{P(D|R)\cdot P(R)}{P(D)}$$ Y con los datos del problema, así como con el resultado calculado en el apartado anterior, es igual a $$P(R|D)=\dfrac{(15/100)\cdot (60/100)}{61/500}=\dfrac{45}{61} \approx 74\,\%$$

$\square$

Geometría analítica. Espacio euclídeo

ENUNCIADO. Dados los planos $\pi_1\equiv 4x+6y-12z+1=0$ y $\pi_2\equiv -2x-3y+6z-5=0$, se pide:
a) Calcular el volumen de un cubo que tenga dos de sus caras en dichos planos
b) Para el cuadrado de vértices consecutivos $ABCD$, con $A(2,1,3)$ y $B(1,2,3)$, calcular las coordenadas de los vértices $C$ y $D$, sabiendo que $C$ pertenece a los planos $\pi_2$ y $\pi_3\equiv x-y+z=2$

SOLUCIÓN.

Optimización. Integración.

ENUNCIADO.
a) En un experimento en un laboratorio se han realizado 5 medidas del mismo objeto, que han dado los resultados siguientes:
    $m_1=0'92$, $m_2=0'94$, $m_3=0'89$, $m_4=0'90$, $m_5=0'91$
Se tomará como resultado el valor de $x$ tal que la suma de los errores de los cuadrados sea mínima; es decir, el valor de $x$ para el que la función $$E(x)=(x-m_1)^2+(x-m_2)^2+(x-m_3)^2+(x-m_4)^2+(x-m_5)^2$$ alcanza un mínimo. Calcúlese dicho valor de $x$
b) Aplíquese el método de integración por partes para calcular la integral $$\displaystyle \int_{1}^{2}\,x^2\,\ln(x)\,dx$$

SOLUCIÓN.

Álgebra lineal. Sistemas de ecuaciones lineales.

ENUNCIADO. Dado el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x&+&m\,y&&&=&1 \\ -2x&-&(m+1)\,y&+&z&=&-1\\ x&+&(2m-1)\,y&+&(m+2)\,z&=&2+2m \end{matrix}\right.$$
a) Discutir el sistema en función del parámetro $m$
b) Resolver el sistema en el caso $m=0$

SOLUCIÓN.