ENUNCIADO. Obtener los valores de los coeficientes $a,b$ y $c$ para que la gráfica de la función $f(x)=a\,x^3+b\,x+c$ pase por el origen de coordenadas y presente un máximo local en el punto $A(1,-1)$
SOLUCIÓN.
Impongamos las condiciones:
i) $f(0)=0 \Rightarrow c=0$
ii) Teniendo en cuenta que $f'(x)=3\,a\,x^2+b$, luego $f'(1)=0 \Rightarrow 3\,a+b=0 \quad (1)$
iii) $f(1)=-1$, por tanto $a+b=-1 \quad (2)$
Resolviendo el sistema de ecuaciones dado por (1) y (2), obtendremos los valores de $a$ y $b$ $$\left\{\begin{matrix}a&+&b&=&-1 \\ 3\,a&+&b&=&0 \end{matrix}\right. \overset{e_2-e_1\,\rightarrow e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}a&+&b&=&-1 \\ 2\,a&&&=&1 \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}&&b&=&-\dfrac{3}{2} \\ a&&&=&\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right.$$ En consecuencia, $$f(x)=\dfrac{1}{2}\,x^3-\dfrac{3}{2}\,x$$
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miércoles, 31 de enero de 2018
Un ejercicio acerca del número de raíces de una función
ENUNCIADO. Demuéstrese que la función $f(x)=x^7+3x+3$ tiene una única raíz.
SOLUCIÓN. Como $f'(x)=7\,x^6+3 \succ 0 \; \forall \,x\in \mathbb{R}$ y $\text{Dom}\,f=\mathbb{R}$ existe un único $x_0$ tal que $f(x_0)=0$
Observación: También podemos hacer uso de la siguiente propiedad: si $f'(x)$ tiene $n$ raíces reales, entonces $f(x)$ tiene exactamente $n+1$ raíces reales. Como $n=0$, el número de raíces de $f$ es igual a $0+1=1$.
$\square$
SOLUCIÓN. Como $f'(x)=7\,x^6+3 \succ 0 \; \forall \,x\in \mathbb{R}$ y $\text{Dom}\,f=\mathbb{R}$ existe un único $x_0$ tal que $f(x_0)=0$
Observación: También podemos hacer uso de la siguiente propiedad: si $f'(x)$ tiene $n$ raíces reales, entonces $f(x)$ tiene exactamente $n+1$ raíces reales. Como $n=0$, el número de raíces de $f$ es igual a $0+1=1$.
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miércoles, 24 de enero de 2018
Acerca de la derivada en la cinemática
Consideremos una trayectoria rectilínea de un móvil puntual. Sea $x(t)$ la posición del mismo ( con respecto al origen de coordenadas del sistema de referencia ) en cada instante de tiempo. La tasa de cambio en la posición viene dada por $\dfrac{\Delta\,x}{\Delta\,t}$, entonces llamamos velocidad del móvil a la tasa de variación instantánea de la cantidad $x$, esto es, a la derivada de la función $x(t)$, es decir $\dfrac{dx}{dt}$, que es a su vez otra función del tiempo, y que en los libros de física suele notarse como $\dot{x}(t)$. De manera análoga, describimos la aceleración en un instante de tiempo dado como la tasa de variación instantánea de la velocidad, por lo que podemos hablar de la función aceleración ( para cada instante ) tenemos un valor de la tasa de variación instantánea: $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dx}{dt}\right)$ que, en los libros de física suele notarse ( por comodidad ) de la forma $\ddot{x}(t)$.
Extendiendo la idea, a una trayectoria en el espacio euclídeo de más de una dimensión, pongamos que en el espacio tridimensional, la posición del móvil en un instante de tiempo dado viene dada por $(x(t),y(t),z(y))$, que es una terna que da las coordenadas del vector de posición del móvil $\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$ y representa, en general, una curva en el espacio.
Así que la velocidad, $\vec{v}\equiv \dfrac{d\,\vec{r}(t)}{dt}=(\dot{x}(t),\dot{y}(t),\dot{z}(t))$, esto es, la derivada del vector de posición en el instante $t$ tiene también, desde luego, pleno caracter vectorial, por lo que decimos que la velocidad en cada instante de tiempo viene dada por una función vectorial ( lo cual extiende de manera natural la noción de función escalar ). Observación: Llamamos celeridad al módulo de dicho vector de posición en el intstante $t$, esto es $c(t)=\left\|\vec{\dot{r}}\right\|$, que es una función escalar.
Desde luego, la aceleración tiene ( en el espacio ) a su vez pleno caracter vectorial, por lo que podemos escribir que en un instante $t$ la aceleración asociada es el vector $\vec{a}\equiv \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\,\vec{r}(t)}{dt}\right)=\dfrac{d\,\vec{v}(t)}{dt}=(\ddot{x}(t),\ddot{y}(t),\ddot{z}(t))$
Ejemplo
ENUNCIDADO. La trayectoria de una partícula en el espacio viene dada por $\vec{r}(t)=(1,t,t^2)$. Calcúlese el vector velocidad, la celeridad, y el vector aceleración en cada instante de tiempo.
SOLUCIÓN. Derivando el vector de posición en cada instante de tiempo, obtenemos $\vec{v}(t)=\dfrac{\vec{r}(t)}{dt}=(0,1,2t)$, luego la celeridad en cada instante de tiempo viene dada por $c(t)=\sqrt{0^2+1^2+(2t)^2}=\sqrt{4\,t^2+1}$; por lo que respecta al vector aceleración ( en cada instante ), éste se obtiene derivando las coordenadas del vector de velocidad, por lo que viene dado por $\vec{a}(t)=\dfrac{\vec{v}(t)}{dt}=(0,0,2)$, que en este caso resulta ser constante y actuando únicamente en la tercera dimensión del espacio.
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Extendiendo la idea, a una trayectoria en el espacio euclídeo de más de una dimensión, pongamos que en el espacio tridimensional, la posición del móvil en un instante de tiempo dado viene dada por $(x(t),y(t),z(y))$, que es una terna que da las coordenadas del vector de posición del móvil $\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$ y representa, en general, una curva en el espacio.
Así que la velocidad, $\vec{v}\equiv \dfrac{d\,\vec{r}(t)}{dt}=(\dot{x}(t),\dot{y}(t),\dot{z}(t))$, esto es, la derivada del vector de posición en el instante $t$ tiene también, desde luego, pleno caracter vectorial, por lo que decimos que la velocidad en cada instante de tiempo viene dada por una función vectorial ( lo cual extiende de manera natural la noción de función escalar ). Observación: Llamamos celeridad al módulo de dicho vector de posición en el intstante $t$, esto es $c(t)=\left\|\vec{\dot{r}}\right\|$, que es una función escalar.
Desde luego, la aceleración tiene ( en el espacio ) a su vez pleno caracter vectorial, por lo que podemos escribir que en un instante $t$ la aceleración asociada es el vector $\vec{a}\equiv \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\,\vec{r}(t)}{dt}\right)=\dfrac{d\,\vec{v}(t)}{dt}=(\ddot{x}(t),\ddot{y}(t),\ddot{z}(t))$
Ejemplo
ENUNCIDADO. La trayectoria de una partícula en el espacio viene dada por $\vec{r}(t)=(1,t,t^2)$. Calcúlese el vector velocidad, la celeridad, y el vector aceleración en cada instante de tiempo.
SOLUCIÓN. Derivando el vector de posición en cada instante de tiempo, obtenemos $\vec{v}(t)=\dfrac{\vec{r}(t)}{dt}=(0,1,2t)$, luego la celeridad en cada instante de tiempo viene dada por $c(t)=\sqrt{0^2+1^2+(2t)^2}=\sqrt{4\,t^2+1}$; por lo que respecta al vector aceleración ( en cada instante ), éste se obtiene derivando las coordenadas del vector de velocidad, por lo que viene dado por $\vec{a}(t)=\dfrac{\vec{v}(t)}{dt}=(0,0,2)$, que en este caso resulta ser constante y actuando únicamente en la tercera dimensión del espacio.
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Definiciones básicas para trabajar con modelos funcionales en economía
En los modelos matemáticos, la función de beneficio da el beneficio obtenido al vender $x$ unidades de producto comercial; la función de coste da el coste que supone vender $x$ unidades de producto comercial, y la función de ingresos describe la cuantía de los ingresos obtenidos al vender $x$ unidades de producto comercial.
Por otra parte, con la función de demanda, $D(x)$, se modela el precio que corresponde a $x$ unidades ( de producto comercial ) demandadas, y con
la función de oferta, $O(x)$, el precio que corresponde a $x$ unidades ( de producto comercial ) ofertadas. En un modelo estándar, la función de demanda es decreciente y la de oferta es creciente; el punto de corte de dichas curvas, representa un equilibrio teórico entre la oferta y la demanda.
La tasa de variación media del ingreso en un intervalo de longitud $\Delta\,x$ ( del número de unidades de producto comercial vendidas ) se define como la razón $\dfrac{\Delta\,I}{\Delta\,x}$, donde $\Delta\,I$ es el incremento en los ingresos que se da con un incremento $\Delta\,x$, por lo que llamamos ingreso marginal a la tasa de variación instantánea del ingreso, es decir, a la derivada de la función $I(x)$, es decir, con el término ingreso marginal nos referimos a la función derivada $I'(x)$ o lo que es lo mismo $\dfrac{dI(x)}{dx}$, siendo el ingreso marginal en un punto el número $\left(\dfrac{dI(x)}{dx}\right)_{x_0}$, habiéndose vendido $x_0$ unidades del producto comercial.
La tasa de variación media del costeen un intervalo de longitud $\Delta\,x$ ( del número de unidades de producto comercial vendidas ) se define como la razón $\dfrac{\Delta\,C}{\Delta\,x}$, donde $\Delta\,C$ es el incremento del coste que se da con un incremento $\Delta\,x$, por lo que llamamos coste marginal a la tasa de variación instantánea del coste, es decir, a la derivada de la función $C(x)$, es decir, con el término coste marginal nos referimos a la función derivada $C'(x)$ o lo que es lo mismo $\dfrac{dC(x)}{dx}$, siendo el coste marginal en un punto el número $\left(\dfrac{dC(x)}{dx}\right)_{x_0}$, habiéndose vendido $x_0$ unidades del producto comercial.
La tasa tasa de variación media del beneficio en un intervalo de longitud $\Delta\,x$ ( del número de unidades de producto comercial vendidas ) se define como la razón $\dfrac{\Delta\,B}{\Delta\,x}$, donde $\Delta\,B$ es el incremento de beneficio que se da con un incremento $\Delta\,x$, por lo que llamamos beneficio marginal a la tasa de variación instantánea del beneficio, esto es, a la derivada de la función $B(x)$, es decir, con el término beneficio marginal nos referimos a la función derivada $B'(x)$ o lo que es lo mismo $\dfrac{dB(x)}{dx}$, siendo la beneficio marginal en un punto el número $\left(\dfrac{dB(x)}{dx}\right)_{x_0}$, habiéndose vendido $x_0$ unidades del producto comercial.
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Por otra parte, con la función de demanda, $D(x)$, se modela el precio que corresponde a $x$ unidades ( de producto comercial ) demandadas, y con
la función de oferta, $O(x)$, el precio que corresponde a $x$ unidades ( de producto comercial ) ofertadas. En un modelo estándar, la función de demanda es decreciente y la de oferta es creciente; el punto de corte de dichas curvas, representa un equilibrio teórico entre la oferta y la demanda.
La tasa de variación media del ingreso en un intervalo de longitud $\Delta\,x$ ( del número de unidades de producto comercial vendidas ) se define como la razón $\dfrac{\Delta\,I}{\Delta\,x}$, donde $\Delta\,I$ es el incremento en los ingresos que se da con un incremento $\Delta\,x$, por lo que llamamos ingreso marginal a la tasa de variación instantánea del ingreso, es decir, a la derivada de la función $I(x)$, es decir, con el término ingreso marginal nos referimos a la función derivada $I'(x)$ o lo que es lo mismo $\dfrac{dI(x)}{dx}$, siendo el ingreso marginal en un punto el número $\left(\dfrac{dI(x)}{dx}\right)_{x_0}$, habiéndose vendido $x_0$ unidades del producto comercial.
La tasa de variación media del costeen un intervalo de longitud $\Delta\,x$ ( del número de unidades de producto comercial vendidas ) se define como la razón $\dfrac{\Delta\,C}{\Delta\,x}$, donde $\Delta\,C$ es el incremento del coste que se da con un incremento $\Delta\,x$, por lo que llamamos coste marginal a la tasa de variación instantánea del coste, es decir, a la derivada de la función $C(x)$, es decir, con el término coste marginal nos referimos a la función derivada $C'(x)$ o lo que es lo mismo $\dfrac{dC(x)}{dx}$, siendo el coste marginal en un punto el número $\left(\dfrac{dC(x)}{dx}\right)_{x_0}$, habiéndose vendido $x_0$ unidades del producto comercial.
La tasa tasa de variación media del beneficio en un intervalo de longitud $\Delta\,x$ ( del número de unidades de producto comercial vendidas ) se define como la razón $\dfrac{\Delta\,B}{\Delta\,x}$, donde $\Delta\,B$ es el incremento de beneficio que se da con un incremento $\Delta\,x$, por lo que llamamos beneficio marginal a la tasa de variación instantánea del beneficio, esto es, a la derivada de la función $B(x)$, es decir, con el término beneficio marginal nos referimos a la función derivada $B'(x)$ o lo que es lo mismo $\dfrac{dB(x)}{dx}$, siendo la beneficio marginal en un punto el número $\left(\dfrac{dB(x)}{dx}\right)_{x_0}$, habiéndose vendido $x_0$ unidades del producto comercial.
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Cálculo de límites. Manejando indeterminaciones del tipo 1^{\infty}
ENUNCIADO. Calcular el límite $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3}$$
SOLUCIÓN.
Procedimiento 1:
Al pasar al límite, $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3} = \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,x/3}$, llegamos a una indeterminación del tipo $1^\infty$. Como sabemos que este tipo de indeterminaciones suelen llevar a una potencia de base el número $e$, como resultado, podemos la siguiente técnica: designemos por $L$ al resultado del supuesto límite, $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3}=L$$ Considerando la función del argumento del límite, la denominamos $f(x)=\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3}$ Sacando logaritmos neperianos en cada miembro de la igualdad, $$\ln\,\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,f(x) =\ln\,L$$ y, por la propiedad del límite del logaritmo, esto es equivalente a $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\ln(f(x)) =\ln\,L$$ y denotando $$\ell=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\ln(f(x))$$ con lo cual $$L=e^{\ell}$$
Procedamos pues a calcular $\ell$:
$\ell=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\ln\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\left(\dfrac{x}{3}\,\ln\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)\right)\overset{\infty\cdot 0}{=}\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{\ln\,(\dfrac{2x-1}{2x})}{3/x}\overset{\frac{0}{0}}{=}$
$=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{\ln\,(\dfrac{2x-1}{2x})}{3/x}\overset{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{\left(\ln\,(\dfrac{2x-1}{2x})\right)'}{(3/x)'}=$
$=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{\dfrac{2x}{2x-1}\cdot \left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)'}{-3/x^2}=-\dfrac{1}{3}\,\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{x}{2x-1}=-\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{6}$
con lo cual $$L=e^{-1/6}=\dfrac{1}{e^{1/6}}=\dfrac{1}{\sqrt[6]{e}}$$
Procedimiento 2:
Teniendo en cuenta que $\displaystyle \, \lim_{x \rightarrow \infty}\,\left(1+\dfrac{1}{g(x)}\right)^{g(x)}=e$, procedemos a escribir el argumento del límite de modo que su forma se pueda asimilar a la de la propiedad que acabamos de reseñar. Entonces,
$\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3}=\left(1+\dfrac{2x-1}{2x}-1\right)^{x/3}=\left(1+\dfrac{1}{(-2x)}\right)^{x/3}=$
$=\left(\left(\left(1+\dfrac{1}{(-2x)}\right)^{-2x}\right)^{\frac{1}{(-2x)}}\right)^{x/3}=\left(\left(1+\dfrac{1}{(-2x)}\right)^{-2x}\right)^{-\frac{1}{6}}$
Por consiguiente, $\displaystyle \, \lim_{x \rightarrow \infty}\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3}=\left(\displaystyle \, \lim_{x \rightarrow \infty}\,\left(\left(1+\dfrac{1}{(-2x)}\right)^{-2x}\right)\right)^{\displaystyle \, \lim_{x \rightarrow \infty}\,-\frac{1}{6}}=e^{-\frac{1}{6}}=\dfrac{1}{e^{1/6}}=\dfrac{1}{\sqrt[6]{e}}$
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SOLUCIÓN.
Procedimiento 1:
Al pasar al límite, $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3} = \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,x/3}$, llegamos a una indeterminación del tipo $1^\infty$. Como sabemos que este tipo de indeterminaciones suelen llevar a una potencia de base el número $e$, como resultado, podemos la siguiente técnica: designemos por $L$ al resultado del supuesto límite, $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3}=L$$ Considerando la función del argumento del límite, la denominamos $f(x)=\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3}$ Sacando logaritmos neperianos en cada miembro de la igualdad, $$\ln\,\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,f(x) =\ln\,L$$ y, por la propiedad del límite del logaritmo, esto es equivalente a $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\ln(f(x)) =\ln\,L$$ y denotando $$\ell=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\ln(f(x))$$ con lo cual $$L=e^{\ell}$$
Procedamos pues a calcular $\ell$:
$\ell=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\ln\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\left(\dfrac{x}{3}\,\ln\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)\right)\overset{\infty\cdot 0}{=}\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{\ln\,(\dfrac{2x-1}{2x})}{3/x}\overset{\frac{0}{0}}{=}$
$=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{\ln\,(\dfrac{2x-1}{2x})}{3/x}\overset{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{\left(\ln\,(\dfrac{2x-1}{2x})\right)'}{(3/x)'}=$
$=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{\dfrac{2x}{2x-1}\cdot \left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)'}{-3/x^2}=-\dfrac{1}{3}\,\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{x}{2x-1}=-\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{6}$
con lo cual $$L=e^{-1/6}=\dfrac{1}{e^{1/6}}=\dfrac{1}{\sqrt[6]{e}}$$
Procedimiento 2:
Teniendo en cuenta que $\displaystyle \, \lim_{x \rightarrow \infty}\,\left(1+\dfrac{1}{g(x)}\right)^{g(x)}=e$, procedemos a escribir el argumento del límite de modo que su forma se pueda asimilar a la de la propiedad que acabamos de reseñar. Entonces,
$\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3}=\left(1+\dfrac{2x-1}{2x}-1\right)^{x/3}=\left(1+\dfrac{1}{(-2x)}\right)^{x/3}=$
$=\left(\left(\left(1+\dfrac{1}{(-2x)}\right)^{-2x}\right)^{\frac{1}{(-2x)}}\right)^{x/3}=\left(\left(1+\dfrac{1}{(-2x)}\right)^{-2x}\right)^{-\frac{1}{6}}$
Por consiguiente, $\displaystyle \, \lim_{x \rightarrow \infty}\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3}=\left(\displaystyle \, \lim_{x \rightarrow \infty}\,\left(\left(1+\dfrac{1}{(-2x)}\right)^{-2x}\right)\right)^{\displaystyle \, \lim_{x \rightarrow \infty}\,-\frac{1}{6}}=e^{-\frac{1}{6}}=\dfrac{1}{e^{1/6}}=\dfrac{1}{\sqrt[6]{e}}$
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martes, 23 de enero de 2018
Función derivable
La derivada de una función en un punto permite calcular el ritmo de crecimiento/decrecimiento de la misma en un punto donde pueda trazarse la recta tangente a la gráfica de la función, ya que representa el valor de la pendiente ( de la recta tangente ) en dicho punto.
Definición (Derivada de una función en un punto)
Una función real de una variable real $f:D\rightarrow \mathbb{R}$, donde $D \equiv \text{Dom}\,f=(a,b)\subset \mathbb{R}$ se dice derivable en $x_0 \in (a,b)$ si existe el límite $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}\,\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ donde $h\equiv \Delta\,x \succ 0$
Si denominamos $x:=x_0+h$ también podemos escribir lo anterior de la forma $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0}\,\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ Así pues, si dicho límite existe, denotamos por $f'(x_0)$ al valor de dicho límite, esto es $$f'(x_0)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}\,\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$ o lo que es lo mismo $$f'(x_0)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0}\,\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
Observación: Para que el límite que define la derivada en un punto exista -- y por consiguiente para que podamos decir que la función es derivable en dicho punto -- deberán existir los límites laterales y, además, tener el mismo valor. A dichos límites laterales solemos denominarlos derivada por la derecha, $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^+}\,\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$, y derivada por la izquierda, $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^-}\,\dfrac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}$, respectivamente; así que para que exista la derivada de una función en un punto la derivada lateral por la derecha ha de ser igual a la derivada lateral por la izquierda.
Nota: En algunos libros, la derivada lateral por la izquierda y la derivada lateral por la derecha se notan de la misma forma: $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^+}\,\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ y $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^-}\,\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
Función derivada de una función dada
Si calculamos la función derivada en cada uno de los puntos del conjunto de puntos donde la función $f$ es derivable, llegamos al concepto de derivada de una función, que podemos notar de la forma $$f'(x)\overset{\text{Def}}{=}\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}\,\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
De la definición que acabamos de dar, se van deduciendo todas las reglas de derivación, cuya aplicación facilita el cálculo de la función derivada.
Así, por ejemplo, se demuestra que si $f(x)=x^n\,n\in \mathbb{N}$, entonces $f'(x)=n\,x^{n-1}$, cuya validez se prueba que puede extenderse a exponentes que sean, en general, números reales. También es interesante reseñar la regla de derivación de una función compuesta, llamada de la cadena: si $h(x)=(f\circ g)(x)$, esto es, $h(x)=f(g(x))$, entonces $h'(x)=f'(g(x))\,g'(x)$; la derivada de la función $f(x)=\ln\,x$ es $f'(x)=\dfrac{1}{x}$, y la de la función $f(x)=e^x$ es la misma función $f'(x)=e^x$. Es también útil recordar las derivadas de las funciones circulares: $(\sin(x))'=\cos(x)$; $(\sin(x))'=-\sin(x)$; $(\tan(x))'=\dfrac{1}{\cos^2\,(x)}$. La derivada de la función recíproca, cumple que $y'_{x}=\dfrac{1}{x'_y}$; aplicándola, se obtiene por ejemplo que $(\arctan\,(x))'=\dfrac{1}{1+x^2}$. Convendrá por tanto que el lector/a revise dichas reglas de derivación ya estudiadas en el curso anterior, pues la derivación -- al igual que el límite de funciones y la integración ( como también se estudiará en este mismo curso ) son herramientas indispensables para el cálculo y el análisis.
Observación 1: Otras formas de notar la función derivada son las siguientes $$f'(x)\equiv y'(x) \equiv (f(x))'\equiv D(f(x)) \equiv (Df)(x) \equiv \dfrac{df(x)}{dx} \equiv \dfrac{dy}{dx}$$
Observación 2: Otras formas de notar la función derivada de una función $f$ en un punto $x_0$ son las siguientes $$f'(x_0) \equiv y'(x_0) \equiv (Df)(x_0) \equiv \left(\dfrac{df}{dx}\right)_{x_0} \equiv \left(\dfrac{dy}{dx}\right)_{x_0}$$
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Definición (Derivada de una función en un punto)
Una función real de una variable real $f:D\rightarrow \mathbb{R}$, donde $D \equiv \text{Dom}\,f=(a,b)\subset \mathbb{R}$ se dice derivable en $x_0 \in (a,b)$ si existe el límite $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}\,\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ donde $h\equiv \Delta\,x \succ 0$
Si denominamos $x:=x_0+h$ también podemos escribir lo anterior de la forma $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0}\,\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ Así pues, si dicho límite existe, denotamos por $f'(x_0)$ al valor de dicho límite, esto es $$f'(x_0)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}\,\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$ o lo que es lo mismo $$f'(x_0)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0}\,\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
Observación: Para que el límite que define la derivada en un punto exista -- y por consiguiente para que podamos decir que la función es derivable en dicho punto -- deberán existir los límites laterales y, además, tener el mismo valor. A dichos límites laterales solemos denominarlos derivada por la derecha, $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^+}\,\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$, y derivada por la izquierda, $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^-}\,\dfrac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}$, respectivamente; así que para que exista la derivada de una función en un punto la derivada lateral por la derecha ha de ser igual a la derivada lateral por la izquierda.
Nota: En algunos libros, la derivada lateral por la izquierda y la derivada lateral por la derecha se notan de la misma forma: $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^+}\,\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ y $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^-}\,\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
Función derivada de una función dada
Si calculamos la función derivada en cada uno de los puntos del conjunto de puntos donde la función $f$ es derivable, llegamos al concepto de derivada de una función, que podemos notar de la forma $$f'(x)\overset{\text{Def}}{=}\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}\,\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
De la definición que acabamos de dar, se van deduciendo todas las reglas de derivación, cuya aplicación facilita el cálculo de la función derivada.
Así, por ejemplo, se demuestra que si $f(x)=x^n\,n\in \mathbb{N}$, entonces $f'(x)=n\,x^{n-1}$, cuya validez se prueba que puede extenderse a exponentes que sean, en general, números reales. También es interesante reseñar la regla de derivación de una función compuesta, llamada de la cadena: si $h(x)=(f\circ g)(x)$, esto es, $h(x)=f(g(x))$, entonces $h'(x)=f'(g(x))\,g'(x)$; la derivada de la función $f(x)=\ln\,x$ es $f'(x)=\dfrac{1}{x}$, y la de la función $f(x)=e^x$ es la misma función $f'(x)=e^x$. Es también útil recordar las derivadas de las funciones circulares: $(\sin(x))'=\cos(x)$; $(\sin(x))'=-\sin(x)$; $(\tan(x))'=\dfrac{1}{\cos^2\,(x)}$. La derivada de la función recíproca, cumple que $y'_{x}=\dfrac{1}{x'_y}$; aplicándola, se obtiene por ejemplo que $(\arctan\,(x))'=\dfrac{1}{1+x^2}$. Convendrá por tanto que el lector/a revise dichas reglas de derivación ya estudiadas en el curso anterior, pues la derivación -- al igual que el límite de funciones y la integración ( como también se estudiará en este mismo curso ) son herramientas indispensables para el cálculo y el análisis.
Observación 1: Otras formas de notar la función derivada son las siguientes $$f'(x)\equiv y'(x) \equiv (f(x))'\equiv D(f(x)) \equiv (Df)(x) \equiv \dfrac{df(x)}{dx} \equiv \dfrac{dy}{dx}$$
Observación 2: Otras formas de notar la función derivada de una función $f$ en un punto $x_0$ son las siguientes $$f'(x_0) \equiv y'(x_0) \equiv (Df)(x_0) \equiv \left(\dfrac{df}{dx}\right)_{x_0} \equiv \left(\dfrac{dy}{dx}\right)_{x_0}$$
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lunes, 22 de enero de 2018
Aplicaciones del teorema de Bolzano y del teorema de Rolle
Enunciado:
(a) Demostrar, a partir del Teorema de Rolle, que la función $f(x)=x^4-x^3+5\,x^2-2$ no puede tener más de dos raíces.
(b) Demostrar, a partir del Teorema de Bolzano, que la función $f(x)=-(x+1)^3$ tiene por lo menos una raíz en el intervalo $(-2\,,\,0) \subset \mathbb{R}$.
(c) Calcular el límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x^3}{e^x-1}$, empleando la regla de l'Hôpital ( consecuencia del Teorema del Valor Medio Extendido o teorema de Cauchy ) para resolver la indeterminación que aparece.
Resolución:
a)
Estudiando las raíces de la función primera derivada $f'(x)=4\,x^3-3\,x^2+10x$, encontramos: $f'(x)=0 \Leftrightarrow 4\,x^3-3\,x^2+10x=0 \Leftrightarrow x\,(4\,x^2-3x+10)=0 \Leftrightarrow x=0$ o bien $4\,x^2-3x+10=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{9-4\cdot 10 \cdot 4}}{2\cdot 4} \notin \mathbb{R}$, con lo cual $f'(x)$ sólo tiene una raiz ( $x=0$ ), luego, por el Teorema de Rolle ( $f(x)$ es continua y derivable en $D_f=\mathbb{R}$ ), se deduce de ello que $f(x)$ tiene a lo sumo dos raíces.
b)
La función $f(x)$ cambia de signo en los extremos del intervalo indicado, esto es $f(-2)=-(-2+1)^3=-(-1)^3=-(-1)=1 \succ 0$ y $f(0)=-(0+1)^3=-(1)^3=-1 \prec 0$, luego, por el Teorema de Bolzano ( la función $f(x)$ es continua y derivable en $D_f=\mathbb{R}$ y, por tanto, lo es también en el intervalo indicado ) se deduce que $f(x)$ tiene por lo menos una raiz en $(-2\,,\,0) \subset \mathbb{R}$
c)
Al pasar al límite, encontramos
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x^3}{e^x-1}=\dfrac{0}{0}$ ( indeterminación )
Como estamos en condiciones de aplicar la regla de l'Hôpital, esto es, la derivada de la función del denominador $(e^x-1)'=e^x$ es no nula en $x=0$ ( valor al que se hace tender la variable de control del límite ), vamos a hacer uso de este método ( $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow c}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ ), tal como se nos pide en el enunciado:
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x^3}{e^x-1}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{(x^3)'}{(e^x-1)'}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{3\,x^2}{e^x}=\dfrac{3\cdot 0^2 }{e^0}=\dfrac{0}{1}=0$
$\square$
(a) Demostrar, a partir del Teorema de Rolle, que la función $f(x)=x^4-x^3+5\,x^2-2$ no puede tener más de dos raíces.
(b) Demostrar, a partir del Teorema de Bolzano, que la función $f(x)=-(x+1)^3$ tiene por lo menos una raíz en el intervalo $(-2\,,\,0) \subset \mathbb{R}$.
(c) Calcular el límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x^3}{e^x-1}$, empleando la regla de l'Hôpital ( consecuencia del Teorema del Valor Medio Extendido o teorema de Cauchy ) para resolver la indeterminación que aparece.
Resolución:
a)
Estudiando las raíces de la función primera derivada $f'(x)=4\,x^3-3\,x^2+10x$, encontramos: $f'(x)=0 \Leftrightarrow 4\,x^3-3\,x^2+10x=0 \Leftrightarrow x\,(4\,x^2-3x+10)=0 \Leftrightarrow x=0$ o bien $4\,x^2-3x+10=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{9-4\cdot 10 \cdot 4}}{2\cdot 4} \notin \mathbb{R}$, con lo cual $f'(x)$ sólo tiene una raiz ( $x=0$ ), luego, por el Teorema de Rolle ( $f(x)$ es continua y derivable en $D_f=\mathbb{R}$ ), se deduce de ello que $f(x)$ tiene a lo sumo dos raíces.
b)
La función $f(x)$ cambia de signo en los extremos del intervalo indicado, esto es $f(-2)=-(-2+1)^3=-(-1)^3=-(-1)=1 \succ 0$ y $f(0)=-(0+1)^3=-(1)^3=-1 \prec 0$, luego, por el Teorema de Bolzano ( la función $f(x)$ es continua y derivable en $D_f=\mathbb{R}$ y, por tanto, lo es también en el intervalo indicado ) se deduce que $f(x)$ tiene por lo menos una raiz en $(-2\,,\,0) \subset \mathbb{R}$
c)
Al pasar al límite, encontramos
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x^3}{e^x-1}=\dfrac{0}{0}$ ( indeterminación )
Como estamos en condiciones de aplicar la regla de l'Hôpital, esto es, la derivada de la función del denominador $(e^x-1)'=e^x$ es no nula en $x=0$ ( valor al que se hace tender la variable de control del límite ), vamos a hacer uso de este método ( $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow c}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ ), tal como se nos pide en el enunciado:
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x^3}{e^x-1}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{(x^3)'}{(e^x-1)'}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{3\,x^2}{e^x}=\dfrac{3\cdot 0^2 }{e^0}=\dfrac{0}{1}=0$
$\square$
Funciones continuas
Definición (Continuidad en un punto).
Sea $f$ una función realde una variable real $f:D \rightarrow \mathbb{R}$, donde $D=\text{Dom}\,f$ y consideremos un valor $a \in \mathbb{R}$. Diremos que $f$ es continua en $a$ si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:
i) $a \in \text{Dom}\,f$
ii) Existe el límite $\displaystyle \, \lim_{x\rightarrow a}\,f(x) \in \mathbb{R}$, al que llamaremos $\ell$
iii) $f(a)=\ell$
Dicho de otro modo, $f$ es continua en $a$ si y sólo si para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ ( que, en general, depende de $\varepsilon$ ) tal que si $0 \prec \left|x-a\right|\prec \delta$, entonces $\left|f(x)- f(a) \right|\prec \varepsilon$
Definición (Continuidad lateral por la derecha).
Diremos que $f$ es continua en $a$ por la derecha si y sólo si para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ ( que, en general, depende de $\varepsilon$ ) tal que si $0 \prec \left|x-a\right|\prec \delta$ y $x \succ a$, entonces $\left|f(x)- f(a) \right|\prec \varepsilon$
Definición (Continuidad lateral por la izquierda).
Diremos que $f$ es continua en $a$ por la derecha si y sólo si para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ ( que, en general, depende de $\varepsilon$ ) tal que si $0 \prec \left|x-a\right|\prec \delta$ y $x \prec a$, entonces $\left|f(x)- f(a) \right|\prec \varepsilon$
Proposición. Una función $f$ es continua en $a$ si y sólo si es continua por la derecha y por la izquierda en $a$
Tipos de discontinuidades en un punto $x=a$:
1. De primera especie (los límites laterales existen, dando valores finitos o bien infinitos)
i) Evitable (el límite de la función existe cuando $x\rightarrow a$ pero su valor no coincide con $f(a)$ o bien $f$ no está definida en $x=a$. Esta discontinuidad se dice evitable porque redefiniendo el valor de $f$ en ese punto, desaparece la discontinuidad)
ii) No evitable
ii.1) De salto finito ( los límites laterales existen, pero no coinciden sus valores )
ii.2) De salto infinito ( uno de los límites laterales es infinito y el otro es finito )
ii.3 ) Asintótica ( si los dos límites laterales son infinitos )
2. Esenciales o de segunda especie (no existe alguno de los límites laterales o bien la función no está definida a la derecha o a la izquierda de $x=a$ )
Propiedades:
Sean $f$ y $g$ funciones continuas en el punto $a\in \mathbb{R}$, entonces:
P1) $f+g$ es continua en $a$
P2) $k\,f$ es continua en $a$, para todo $k\in\mathbb{R}$
P3) $f \cdot g$ es continua en $a$
P4) $f/g$ es continua en $a$, siempre que $g(x)\neq 0$
P5) las funciones compuestas $g\circ f$ y $f\circ g$ son continuas en $a$
Definición ( Continuidad en un intervalo ).
1) Una función es continua en un intervalo abierto $(a,b)$ si y sólo si es continua en todos los puntos del intervalo.
2) Una función es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ si y sólo si es continua en todos los puntos del interior del intervalo y es continua por la derecha en $b$ y por la izquierda en $a$
Sea $f$ una función realde una variable real $f:D \rightarrow \mathbb{R}$, donde $D=\text{Dom}\,f$ y consideremos un valor $a \in \mathbb{R}$. Diremos que $f$ es continua en $a$ si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:
i) $a \in \text{Dom}\,f$
ii) Existe el límite $\displaystyle \, \lim_{x\rightarrow a}\,f(x) \in \mathbb{R}$, al que llamaremos $\ell$
iii) $f(a)=\ell$
Dicho de otro modo, $f$ es continua en $a$ si y sólo si para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ ( que, en general, depende de $\varepsilon$ ) tal que si $0 \prec \left|x-a\right|\prec \delta$, entonces $\left|f(x)- f(a) \right|\prec \varepsilon$
Definición (Continuidad lateral por la derecha).
Diremos que $f$ es continua en $a$ por la derecha si y sólo si para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ ( que, en general, depende de $\varepsilon$ ) tal que si $0 \prec \left|x-a\right|\prec \delta$ y $x \succ a$, entonces $\left|f(x)- f(a) \right|\prec \varepsilon$
Definición (Continuidad lateral por la izquierda).
Diremos que $f$ es continua en $a$ por la derecha si y sólo si para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ ( que, en general, depende de $\varepsilon$ ) tal que si $0 \prec \left|x-a\right|\prec \delta$ y $x \prec a$, entonces $\left|f(x)- f(a) \right|\prec \varepsilon$
Proposición. Una función $f$ es continua en $a$ si y sólo si es continua por la derecha y por la izquierda en $a$
Tipos de discontinuidades en un punto $x=a$:
1. De primera especie (los límites laterales existen, dando valores finitos o bien infinitos)
i) Evitable (el límite de la función existe cuando $x\rightarrow a$ pero su valor no coincide con $f(a)$ o bien $f$ no está definida en $x=a$. Esta discontinuidad se dice evitable porque redefiniendo el valor de $f$ en ese punto, desaparece la discontinuidad)
ii) No evitable
ii.1) De salto finito ( los límites laterales existen, pero no coinciden sus valores )
ii.2) De salto infinito ( uno de los límites laterales es infinito y el otro es finito )
ii.3 ) Asintótica ( si los dos límites laterales son infinitos )
2. Esenciales o de segunda especie (no existe alguno de los límites laterales o bien la función no está definida a la derecha o a la izquierda de $x=a$ )
Propiedades:
Sean $f$ y $g$ funciones continuas en el punto $a\in \mathbb{R}$, entonces:
P1) $f+g$ es continua en $a$
P2) $k\,f$ es continua en $a$, para todo $k\in\mathbb{R}$
P3) $f \cdot g$ es continua en $a$
P4) $f/g$ es continua en $a$, siempre que $g(x)\neq 0$
P5) las funciones compuestas $g\circ f$ y $f\circ g$ son continuas en $a$
Definición ( Continuidad en un intervalo ).
1) Una función es continua en un intervalo abierto $(a,b)$ si y sólo si es continua en todos los puntos del intervalo.
2) Una función es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ si y sólo si es continua en todos los puntos del interior del intervalo y es continua por la derecha en $b$ y por la izquierda en $a$
Raíces de una función continua en un cierto intervalo
ENUNCIADO:
Demostrar que la función $f(x)=x^5+x-5$ tiene exactamente una raíz.
SOLUCIÓN:
Observemos que si intentamos resolver la ecuación $f(x)=0$ para encontrar las raíces de la función pedida, no podemos hacerlo de forma exacta; debería, pues, hacerse de forma aproximada; de ahí la pregunta formulada, aunque no nos piden que encontremos el valor de la raíz sino simplemente se nos pide que justifiquemos la afirmación del enunciado: "la función pedida sólo tiene una raíz". Para ello, vamos a utilizar el Teorema de Rolle y el Teorema de Bolzano.
Según el Teorema de Rolle, el número de raíces de una función continua en un intervalo $[a,b]$ ( en este caso en toda la recta numérica ) y derivable en $(a,b)$ ( en este caso es derivable en toda la recta numérica ) es igual, a lo sumo, al número de ráices de la función derivada más uno. Veamos, pues, cuántas raíces tiene la función derivada
$f'(x)=5x^4+1$; para ello, igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante: $5x^4+1=0$. Esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales, por tanto, el número de raíces, $n$, de $f'(x)$ es cero ( $n=0$ ). Entonces, como ya hemos comentado, por el Teorema de Rolle, el máximo número de raíces de $f(x)$ es $n+1$, que en el caso que nos ocupa es $0+1=1$.
Sólo nos queda, ahora, demostrar que existe dicha raíz. Observemos que $f(0)=-5 \prec 0$ y $f(2) \succ 0$, presentado un cambio de signo en el intervalo $[0,2]$, de lo cual deducimos que, al ser continua la función, según el teorema de Bolzano, ésta corta al eje de abscisas al menos en un punto de dicho intervalo. Y como hemos visto, por el Teorema de Rolle, que el número máximo de dichos puntos de corte ( raíces ) es $1$, queda probado que la función pedida tiene exactamente una raíz. $\square$
Demostrar que la función $f(x)=x^5+x-5$ tiene exactamente una raíz.
SOLUCIÓN:
Observemos que si intentamos resolver la ecuación $f(x)=0$ para encontrar las raíces de la función pedida, no podemos hacerlo de forma exacta; debería, pues, hacerse de forma aproximada; de ahí la pregunta formulada, aunque no nos piden que encontremos el valor de la raíz sino simplemente se nos pide que justifiquemos la afirmación del enunciado: "la función pedida sólo tiene una raíz". Para ello, vamos a utilizar el Teorema de Rolle y el Teorema de Bolzano.
Según el Teorema de Rolle, el número de raíces de una función continua en un intervalo $[a,b]$ ( en este caso en toda la recta numérica ) y derivable en $(a,b)$ ( en este caso es derivable en toda la recta numérica ) es igual, a lo sumo, al número de ráices de la función derivada más uno. Veamos, pues, cuántas raíces tiene la función derivada
$f'(x)=5x^4+1$; para ello, igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante: $5x^4+1=0$. Esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales, por tanto, el número de raíces, $n$, de $f'(x)$ es cero ( $n=0$ ). Entonces, como ya hemos comentado, por el Teorema de Rolle, el máximo número de raíces de $f(x)$ es $n+1$, que en el caso que nos ocupa es $0+1=1$.
Sólo nos queda, ahora, demostrar que existe dicha raíz. Observemos que $f(0)=-5 \prec 0$ y $f(2) \succ 0$, presentado un cambio de signo en el intervalo $[0,2]$, de lo cual deducimos que, al ser continua la función, según el teorema de Bolzano, ésta corta al eje de abscisas al menos en un punto de dicho intervalo. Y como hemos visto, por el Teorema de Rolle, que el número máximo de dichos puntos de corte ( raíces ) es $1$, queda probado que la función pedida tiene exactamente una raíz. $\square$
Teoremas básicos acerca de funciones continuas y derivables
TEOREMAS BÁSICOS SOBRE CONTINUIDAD
Teorema de Weierstrass. Una función real de variable real, $f(x)$, continua en un intervalo cerrado y acotado, entonces dicha función está acotada y alcanza la menor de las cotas superiores ( supremo ) y la mayor de las cotas inferiores ( ínfimo ) dentro del mismo, es decir, alcanza los valores máximo y mínimo en puntos de dicho intervalo. En otras palabras, existen $x_1,x_2 \in [a,b]$ tales que $f(x_1)=\text{min}\,\{f(x)\}$ y $f(x_2)=\text{max}\,\{f(x)\}$
Nota: Desde luego, al hablar aquí de máximo y mínimo, no debe entenderse que éstos han de ser necesariamente máximos y mínimos relativos ( locales ).
Teorema de Bolzano. Sea $f(x)$ una función real de variable real, continua en un intervalo cerrado, y tal que en sus extremos los valores de función son de signos opuestos, entonces existe por lo menos una raíz de la función que pertenece a dicho intervalo.
Corolario (Teorema de los valores intermedios)
Con las premisas del teorema de Bolzano, se tiene que para cualquier $f(a) \le k \le f(b)$ existe al menos un valor $c \in [a,b]$ tal que $f(c)=k$
Nota: No debe confundirse el teorema de los valores intermedios con el teorema del valor medio ( o teorema de Lagrange ), que se expondrá a continuación.
TEOREMAS BÁSICOS SOBRE DERIVABILIDAD DE FUNCIONES CONTINUAS EN UN CIERTO INTERVALO
Teorema de Fermat. Sea $f(x)$ una función real de variable real, definida en cierto entorno del punto $x_0$, siendo tal que en dicho punto la función es derivable, y toma en él el valor máximo ó el v. mínimo, entonces $f'(x_0)=0$
Teorema de Rolle. Sea $f(x)$ una función real de variable real, continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$; entonces, si $f(a)=f(b)$ existe por lo menos un punto $c \in (a,b)$ tal que $f'(c)=0$.
Teorema de Lagrange ( o del valor medio). Sea $f(x)$ una función real de variable real, continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$; entonces existe al menos un punto $c \in (a,b)$ tal que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en este punto es igual a la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$, esto es, $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
Teorema de Cauchy. Sean dos funciones reales de variable real, $f(x)$ y $g(x)$, continuas en un intervalo cerrado $[a,b]$ y derivables en $(a,b)$; entonces existe al menos un punto $c \in (a,b)$ tal que $\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$
Observación: Una consecuencia de este teorema es la regla de L'Hôpital, muy útil para trabajar con indeterminaciones en el cálculo de límites:
i) Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,g(x)=0$ y existe $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$, entonces $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$$
ii) Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,g(x)=\infty$ y existe $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$, entonces $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$$
$\square$
Teorema de Weierstrass. Una función real de variable real, $f(x)$, continua en un intervalo cerrado y acotado, entonces dicha función está acotada y alcanza la menor de las cotas superiores ( supremo ) y la mayor de las cotas inferiores ( ínfimo ) dentro del mismo, es decir, alcanza los valores máximo y mínimo en puntos de dicho intervalo. En otras palabras, existen $x_1,x_2 \in [a,b]$ tales que $f(x_1)=\text{min}\,\{f(x)\}$ y $f(x_2)=\text{max}\,\{f(x)\}$
Nota: Desde luego, al hablar aquí de máximo y mínimo, no debe entenderse que éstos han de ser necesariamente máximos y mínimos relativos ( locales ).
Teorema de Bolzano. Sea $f(x)$ una función real de variable real, continua en un intervalo cerrado, y tal que en sus extremos los valores de función son de signos opuestos, entonces existe por lo menos una raíz de la función que pertenece a dicho intervalo.
Corolario (Teorema de los valores intermedios)
Con las premisas del teorema de Bolzano, se tiene que para cualquier $f(a) \le k \le f(b)$ existe al menos un valor $c \in [a,b]$ tal que $f(c)=k$
Nota: No debe confundirse el teorema de los valores intermedios con el teorema del valor medio ( o teorema de Lagrange ), que se expondrá a continuación.
TEOREMAS BÁSICOS SOBRE DERIVABILIDAD DE FUNCIONES CONTINUAS EN UN CIERTO INTERVALO
Teorema de Fermat. Sea $f(x)$ una función real de variable real, definida en cierto entorno del punto $x_0$, siendo tal que en dicho punto la función es derivable, y toma en él el valor máximo ó el v. mínimo, entonces $f'(x_0)=0$
Teorema de Rolle. Sea $f(x)$ una función real de variable real, continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$; entonces, si $f(a)=f(b)$ existe por lo menos un punto $c \in (a,b)$ tal que $f'(c)=0$.
Teorema de Lagrange ( o del valor medio). Sea $f(x)$ una función real de variable real, continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$; entonces existe al menos un punto $c \in (a,b)$ tal que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en este punto es igual a la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$, esto es, $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
Teorema de Cauchy. Sean dos funciones reales de variable real, $f(x)$ y $g(x)$, continuas en un intervalo cerrado $[a,b]$ y derivables en $(a,b)$; entonces existe al menos un punto $c \in (a,b)$ tal que $\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$
Observación: Una consecuencia de este teorema es la regla de L'Hôpital, muy útil para trabajar con indeterminaciones en el cálculo de límites:
i) Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,g(x)=0$ y existe $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$, entonces $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$$
ii) Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,g(x)=\infty$ y existe $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$, entonces $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$$
$\square$
jueves, 18 de enero de 2018
miércoles, 17 de enero de 2018
martes, 16 de enero de 2018
lunes, 15 de enero de 2018
El cuerpo de los números reales
El conjunto de los números reales $(\mathbb{R},+,\cdot)$ cumple los siguientes axiomas:
1.i) La operación suma es interna
1.ii) La operación suma es asociativa
1.iii) La operación suma es conmutativa
1.iv) Existe un elemento neutro para la suma, que es el $0$
1.v) Todo elemento tiene opuesto con respecto a la suma
2.i) La operación producto $\cdot$ es interna
2.ii) La operación producto es asociativa
2.iii) La operación producto es conmutativa
2.iv) Existe un elemento neutro para la multiplicación, que es el $1$
2.v) Todo elemento, salvo el $0$, tiene inverso
3. El producto es distributivo con respecto de la suma
4. Existe en $\mathbb{R} una relación de orden; para todo $x \in \mathbb{R}$ se cumple:
4.i) Reflexiva: $x \le x$ (
4.ii) Antisimétrica: si $x \le y$ e $y \le x$, entonces $x=y$
4.iii) Transitiva: si $x \le y$ e $y \le z$, entonces $x \le z$
4.iv) La relación de orden es total: para cualesquiera $x,y \in \mathbb{R}$, entonces: o bien $x \prec y$ o bien $x=y$ o bien $y \prec x$
4.v) Para todo $x \in \mathbb{R}$ se cumple que si $y\le z$ ( $y,z \in \mathbb{R}$ ), entonces $x+y \le x+z$
4.vi) Si $y \le z$ y $0\le x$, entonces $x\,y \le x\,z$
5) Principio del supremo ( véanse las notas de abajo ): Todo subconjunto no vacío de $\mathbb{R}$ acotado superiormente admite supremo
NOTAS:
Cota superior de un subconjunto $X$ de $\mathbb{R}$
Decimos que un elemento $a \in \mathbb{R}$ es una cota superior de $X$ si para todo $x \in X$ se cumple que $x \le a$. Si un conjunto $X$ tiene, al menos, una cota superior decimos que $X$ está acotado superiormente. La menor de las cotas superior se denomina supremo, y lo designamos $\text{sup}\,X$
Cota inferior de un subconjunto $X$ de $\mathbb{R}$
Decimos que un elemento $a \in \mathbb{R}$ es una cota inferior de $X$ si para todo $x \in X$ se cumple que $a \le x$. Si un conjunto $X$ tiene, al menos, una cota inferior decimos que $X$ está acotado superiormente. La mayor de las cotas inferiores se denomina ínfimo, y lo designamos $\text{ínf}\,X$
Conjunto acotado
Si un conjunto $X \subset \mathbb{R}$ está acotado superior e inferiormente, decimos que está acotado.
OBSERVACIONES:
1) $\mathbb{R}$ es un cuerpo arquimediano, pues se cumple que para todo número real $x$ existe un número natural $n$ tal que $x \prec n$
1.i) La operación suma es interna
1.ii) La operación suma es asociativa
1.iii) La operación suma es conmutativa
1.iv) Existe un elemento neutro para la suma, que es el $0$
1.v) Todo elemento tiene opuesto con respecto a la suma
2.i) La operación producto $\cdot$ es interna
2.ii) La operación producto es asociativa
2.iii) La operación producto es conmutativa
2.iv) Existe un elemento neutro para la multiplicación, que es el $1$
2.v) Todo elemento, salvo el $0$, tiene inverso
3. El producto es distributivo con respecto de la suma
4. Existe en $\mathbb{R} una relación de orden; para todo $x \in \mathbb{R}$ se cumple:
4.i) Reflexiva: $x \le x$ (
4.ii) Antisimétrica: si $x \le y$ e $y \le x$, entonces $x=y$
4.iii) Transitiva: si $x \le y$ e $y \le z$, entonces $x \le z$
4.iv) La relación de orden es total: para cualesquiera $x,y \in \mathbb{R}$, entonces: o bien $x \prec y$ o bien $x=y$ o bien $y \prec x$
4.v) Para todo $x \in \mathbb{R}$ se cumple que si $y\le z$ ( $y,z \in \mathbb{R}$ ), entonces $x+y \le x+z$
4.vi) Si $y \le z$ y $0\le x$, entonces $x\,y \le x\,z$
5) Principio del supremo ( véanse las notas de abajo ): Todo subconjunto no vacío de $\mathbb{R}$ acotado superiormente admite supremo
NOTAS:
Cota superior de un subconjunto $X$ de $\mathbb{R}$
Decimos que un elemento $a \in \mathbb{R}$ es una cota superior de $X$ si para todo $x \in X$ se cumple que $x \le a$. Si un conjunto $X$ tiene, al menos, una cota superior decimos que $X$ está acotado superiormente. La menor de las cotas superior se denomina supremo, y lo designamos $\text{sup}\,X$
Cota inferior de un subconjunto $X$ de $\mathbb{R}$
Decimos que un elemento $a \in \mathbb{R}$ es una cota inferior de $X$ si para todo $x \in X$ se cumple que $a \le x$. Si un conjunto $X$ tiene, al menos, una cota inferior decimos que $X$ está acotado superiormente. La mayor de las cotas inferiores se denomina ínfimo, y lo designamos $\text{ínf}\,X$
Conjunto acotado
Si un conjunto $X \subset \mathbb{R}$ está acotado superior e inferiormente, decimos que está acotado.
OBSERVACIONES:
1) $\mathbb{R}$ es un cuerpo arquimediano, pues se cumple que para todo número real $x$ existe un número natural $n$ tal que $x \prec n$
viernes, 12 de enero de 2018
Límite de una función real de variable real
Límite de una función en un punto
Sea una función real de variable real $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, decimos que el límite de dicha función tiene límite $\ell$ en $x=a$, y lo denotamos por $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\ell$, si para cualquier intervalo de centro $\ell$ existe un intervalo de centro $a$ de manera que todos los puntos de dicho intervalo distintos de $a$ tengan su imagen en el referido intervalo de centro $\ell$, esto es $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\ell$ si para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ ( que, en general, depende de $\varepsilon$ ) tal que si $x \in (a-\delta\,,\,a+\delta)$, siendo $x \neq a$, entonces $f(x) \in (\ell - \varepsilon,\,\,\ell + \epsilon)$
Dicho de otro modo, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\ell$ si para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ ( que, en general, depende de $\varepsilon$ ) tal que si $\left|x-a\right|\prec \delta$, entonces $\left|f(x)-\ell \right|\prec \varepsilon$
Unicidad del límite:
El límite, si existe, es único
Límites laterales:
Decimos que la función $f$ tiene límite $\ell_d$ por la derecha cuando $x$ tiende a $a$, y escribiremos $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^+}\,f(x)=\ell_d$ si $\forall\,\varepsilon \succ 0\; \exists\, \delta\, \succ 0$ tal que $a \prec x \prec a+\delta \Rightarrow \left|f(x)-\ell_d\right| \prec \varepsilon$
Decimos que la función $f$ tiene límite $\ell_i$ por la izquierda cuando $x$ tiende a $a$, y escribiremos $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^-}\,f(x)=\ell_i$ si $\forall\,\varepsilon \succ 0\; \exists \delta\, \succ 0$ tal que $a-\delta \prec x \prec a \Rightarrow \left|f(x)-\ell_i\right| \prec \varepsilon$
Observación: Si existe el límite de $f(x)$ en $x=a$, entonces los límites laterales han de existir y sus valores han de ser iguales al valor del límite, esto es $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\ell \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow a^-}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow a^+}\,f(x)=\ell$$ con lo cual debe cumplirse que $\ell_d=\ell_i=\ell$
Límites en el infinito
Decimos que una función $f$ tiende al límite $\ell$ cuando $x$ tiende a infinito, y escribimos $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,f(x)=\ell$, si y sólo si para todo $\varepsilon \succ 0$ existe un $M\succ 0$ tal que si $-M \prec x \prec M$ ( esto es, si $\left|x\right| \prec M$ ), entonces $\ell -\varepsilon \prec f(x) \prec \ell+\varepsilon$ ( o lo que es lo mismo, $\left|f(x)-\ell\right|\prec \varepsilon$ )
Límite superior y límite inferior
Se recurre a veces al límite superior e inferior cuando el límite global no existe. Suelen usarse estos límites trantando con sucesiones oscilantes, si bien son perfectamente aplicables a cualquier otro tipo de función. Recomiendo la lectura de este artículo de Wikipedia, en el que se explica esta idea con mucha claridad.
Ejemplo: Es claro que no existe el límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\sin(x)$, sin embargo sí que podemos hablar de los límites superior e inferior, respectivamente: $$\displaystyle \overline{\lim}_{x\rightarrow \pm\,\infty}\,sin(x)=+1$$ y $$\displaystyle \underline{\lim}_{x\rightarrow \pm\,\infty}\,sin(x)=-1$$
Límites infinitos
Decimos que $f(x)$ tiende a $+\infty$ cuando $x$ tiende a $a$, y escribiremos $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,f(x)=+\infty$ si y sólo si para todo $M \succ 0$ existe $\delta \succ 0$ tal que si $0 \prec \left|x-a\right| \prec \delta$, entonces $\left|f(x)\right| \succ M$
Decimos que $f(x)$ tiende a $-\infty$ cuando $x$ tiende a $a$, y escribiremos $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,f(x)=-\infty$ si y sólo si para todo $M \succ 0$ existe $\delta \succ 0$ tal que si $0 \prec \left|x-a\right| \prec \delta$, entonces $f(x) \prec -M$
Operaciones básicas con límites
Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=p$ y $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=q$, siendo $p,q \in \mathbb{R}$, entonces:
P1. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}(f(x)+g(x))=p+q$
P2. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}(k\,f(x)+g(x))=k\,p$, $\forall \, k\in \mathbb{R}$
P3. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}(f(x)\cdot g(x))=p\cdot q$
P4. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}(\dfrac{f(x)}{g(x)})=\dfrac{p}{q}$, si $q\neq 0$
Indeterminaciones:
Al pasar al límite podemos encontrarnos en situaciones que requieren pasos adicionales para resolver las llamadas indeterminaciones las siguientes:
$$\dfrac{\infty}{\infty}\,,\,\infty-\infty\,,\,\dfrac{\emptyset}{\emptyset}\,,\,1^{\infty}\,,\,\emptyset \cdot \infty\,,\,\infty^{\emptyset}\,,\,\emptyset^{\emptyset}$$ donde se ha empleado la siguiente notación: 1) $\infty$ (cantidad que crece o decrece indefinidamente); y, 2) $\emptyset$ ( cantidad que tiende a cero ). Cada una de estas siete indeterminaciones se resuelve mediante técnicas estándar, si bien, una misma indeterminación puede resolverse por varias vías, como ya se vió en el anterior curso.
Algunas propiedades a tener en cuenta en el cálculo de límites:
Equivalencias para cuando $x$ tiende a $0$. Diremos que $f(x) \sim g(x)$ si $\displaystyle \,\lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=1$. Las siguientes equivalencias pueden ser útiles para resolver ciertos límites: $\sin\,x \sim x$, $\tan\,x \sim x$, $e^x \sim x+1$, $\ln(x+1) \sim x$, $\cos\,x \sim 1 - \dfrac{x^2}{2}$
Una propiedad que resulta muy útil en los cálculos donde aparecen indeterminaciones del tipo $1^{\infty}$ es la siguiente $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \,(\ln\,f(x)) = \ln\, (\lim_{x \rightarrow a} \,f(x))$$
Dos proposiciones más que pueden ser claves en el cálculo de ciertos límites son las siguientes:
i) Sean $f,g$ y $h$ tres funciones definidas en un entorn de un punto $a$ tales que para cualquier $x \in ( a-r\,,\,a+r )$ con $r \succ 0$ se cumpla $f(x) \le g(x) \le h(x)$ y $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow a}\,h(x)=\ell$, entonces se cumple también que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,g(x)=\ell$
ii) Sean $f$ una función que, cuando $x$ tinde a $a$, su límite es cero ( $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=0$ ), y $g$ una función acotada, entonces $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x) \cdot g(x)=0$
$\square$
Sea una función real de variable real $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, decimos que el límite de dicha función tiene límite $\ell$ en $x=a$, y lo denotamos por $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\ell$, si para cualquier intervalo de centro $\ell$ existe un intervalo de centro $a$ de manera que todos los puntos de dicho intervalo distintos de $a$ tengan su imagen en el referido intervalo de centro $\ell$, esto es $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\ell$ si para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ ( que, en general, depende de $\varepsilon$ ) tal que si $x \in (a-\delta\,,\,a+\delta)$, siendo $x \neq a$, entonces $f(x) \in (\ell - \varepsilon,\,\,\ell + \epsilon)$
Dicho de otro modo, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\ell$ si para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ ( que, en general, depende de $\varepsilon$ ) tal que si $\left|x-a\right|\prec \delta$, entonces $\left|f(x)-\ell \right|\prec \varepsilon$
Unicidad del límite:
El límite, si existe, es único
Límites laterales:
Decimos que la función $f$ tiene límite $\ell_d$ por la derecha cuando $x$ tiende a $a$, y escribiremos $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^+}\,f(x)=\ell_d$ si $\forall\,\varepsilon \succ 0\; \exists\, \delta\, \succ 0$ tal que $a \prec x \prec a+\delta \Rightarrow \left|f(x)-\ell_d\right| \prec \varepsilon$
Decimos que la función $f$ tiene límite $\ell_i$ por la izquierda cuando $x$ tiende a $a$, y escribiremos $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^-}\,f(x)=\ell_i$ si $\forall\,\varepsilon \succ 0\; \exists \delta\, \succ 0$ tal que $a-\delta \prec x \prec a \Rightarrow \left|f(x)-\ell_i\right| \prec \varepsilon$
Observación: Si existe el límite de $f(x)$ en $x=a$, entonces los límites laterales han de existir y sus valores han de ser iguales al valor del límite, esto es $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\ell \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow a^-}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow a^+}\,f(x)=\ell$$ con lo cual debe cumplirse que $\ell_d=\ell_i=\ell$
Límites en el infinito
Decimos que una función $f$ tiende al límite $\ell$ cuando $x$ tiende a infinito, y escribimos $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,f(x)=\ell$, si y sólo si para todo $\varepsilon \succ 0$ existe un $M\succ 0$ tal que si $-M \prec x \prec M$ ( esto es, si $\left|x\right| \prec M$ ), entonces $\ell -\varepsilon \prec f(x) \prec \ell+\varepsilon$ ( o lo que es lo mismo, $\left|f(x)-\ell\right|\prec \varepsilon$ )
Límite superior y límite inferior
Se recurre a veces al límite superior e inferior cuando el límite global no existe. Suelen usarse estos límites trantando con sucesiones oscilantes, si bien son perfectamente aplicables a cualquier otro tipo de función. Recomiendo la lectura de este artículo de Wikipedia, en el que se explica esta idea con mucha claridad.
Ejemplo: Es claro que no existe el límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\sin(x)$, sin embargo sí que podemos hablar de los límites superior e inferior, respectivamente: $$\displaystyle \overline{\lim}_{x\rightarrow \pm\,\infty}\,sin(x)=+1$$ y $$\displaystyle \underline{\lim}_{x\rightarrow \pm\,\infty}\,sin(x)=-1$$
Límites infinitos
Decimos que $f(x)$ tiende a $+\infty$ cuando $x$ tiende a $a$, y escribiremos $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,f(x)=+\infty$ si y sólo si para todo $M \succ 0$ existe $\delta \succ 0$ tal que si $0 \prec \left|x-a\right| \prec \delta$, entonces $\left|f(x)\right| \succ M$
Decimos que $f(x)$ tiende a $-\infty$ cuando $x$ tiende a $a$, y escribiremos $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,f(x)=-\infty$ si y sólo si para todo $M \succ 0$ existe $\delta \succ 0$ tal que si $0 \prec \left|x-a\right| \prec \delta$, entonces $f(x) \prec -M$
Operaciones básicas con límites
Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=p$ y $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=q$, siendo $p,q \in \mathbb{R}$, entonces:
P1. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}(f(x)+g(x))=p+q$
P2. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}(k\,f(x)+g(x))=k\,p$, $\forall \, k\in \mathbb{R}$
P3. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}(f(x)\cdot g(x))=p\cdot q$
P4. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}(\dfrac{f(x)}{g(x)})=\dfrac{p}{q}$, si $q\neq 0$
Indeterminaciones:
Al pasar al límite podemos encontrarnos en situaciones que requieren pasos adicionales para resolver las llamadas indeterminaciones las siguientes:
$$\dfrac{\infty}{\infty}\,,\,\infty-\infty\,,\,\dfrac{\emptyset}{\emptyset}\,,\,1^{\infty}\,,\,\emptyset \cdot \infty\,,\,\infty^{\emptyset}\,,\,\emptyset^{\emptyset}$$ donde se ha empleado la siguiente notación: 1) $\infty$ (cantidad que crece o decrece indefinidamente); y, 2) $\emptyset$ ( cantidad que tiende a cero ). Cada una de estas siete indeterminaciones se resuelve mediante técnicas estándar, si bien, una misma indeterminación puede resolverse por varias vías, como ya se vió en el anterior curso.
Algunas propiedades a tener en cuenta en el cálculo de límites:
Equivalencias para cuando $x$ tiende a $0$. Diremos que $f(x) \sim g(x)$ si $\displaystyle \,\lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=1$. Las siguientes equivalencias pueden ser útiles para resolver ciertos límites: $\sin\,x \sim x$, $\tan\,x \sim x$, $e^x \sim x+1$, $\ln(x+1) \sim x$, $\cos\,x \sim 1 - \dfrac{x^2}{2}$
Una propiedad que resulta muy útil en los cálculos donde aparecen indeterminaciones del tipo $1^{\infty}$ es la siguiente $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \,(\ln\,f(x)) = \ln\, (\lim_{x \rightarrow a} \,f(x))$$
Dos proposiciones más que pueden ser claves en el cálculo de ciertos límites son las siguientes:
i) Sean $f,g$ y $h$ tres funciones definidas en un entorn de un punto $a$ tales que para cualquier $x \in ( a-r\,,\,a+r )$ con $r \succ 0$ se cumpla $f(x) \le g(x) \le h(x)$ y $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow a}\,h(x)=\ell$, entonces se cumple también que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,g(x)=\ell$
ii) Sean $f$ una función que, cuando $x$ tinde a $a$, su límite es cero ( $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=0$ ), y $g$ una función acotada, entonces $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x) \cdot g(x)=0$
$\square$
miércoles, 10 de enero de 2018
Límite de una función en un punto
ENUNCIADO. Demuéstrese que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3}\,(5x+1)=16$
SOLUCIÓN.
Recordemos que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\ell$ si para cualquier intervalo de centro $\ell$ existe un intervalo de centro $a$ de manera que todos los puntos de dicho intervalo distintos de $a$ tengan su imagen en el referido intervalo de centro $\ell$, esto es $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\ell$ si para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ ( que, en general, depende de $\varepsilon$ ) tal que si $x \in (a-\delta\,,\,a+\delta)$, siendo $x \neq a$, entonces $f(x) \in (\ell - \varepsilon,\,\,\ell + \epsilon)$
Dicho de otro modo, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\ell$ si para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ ( que, en general, depende de $\varepsilon$ ) tal que si $\left|x-a\right|\prec \delta$, entonces $\left|f(x)-\ell \right|\prec \varepsilon$
En nuestro, en caso concreto, debemos probar que para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ tal que si $\left|x-3\right|\le\delta$, entonces $\left|(5x+1)-16 \right|\le \varepsilon$
-oOo-
Empecemos acotando superiormente $\left|(5x+1)-16 \right|$:
$\left|(5x+1)-16 \right| = \left|5x-15 \right| = \left|5\,(x-3) \right|=5\,\left|x-3 \right|\prec 5\,\delta$; tomando ahora $\delta:=\dfrac{\varepsilon}{5}$, llegamos a $\left|(5x+1)-16 \right| \prec \varepsilon$, con lo cual queda probado que el valor del límite es $16$ $\square$
SOLUCIÓN.
Recordemos que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\ell$ si para cualquier intervalo de centro $\ell$ existe un intervalo de centro $a$ de manera que todos los puntos de dicho intervalo distintos de $a$ tengan su imagen en el referido intervalo de centro $\ell$, esto es $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\ell$ si para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ ( que, en general, depende de $\varepsilon$ ) tal que si $x \in (a-\delta\,,\,a+\delta)$, siendo $x \neq a$, entonces $f(x) \in (\ell - \varepsilon,\,\,\ell + \epsilon)$
Dicho de otro modo, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\ell$ si para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ ( que, en general, depende de $\varepsilon$ ) tal que si $\left|x-a\right|\prec \delta$, entonces $\left|f(x)-\ell \right|\prec \varepsilon$
En nuestro, en caso concreto, debemos probar que para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ tal que si $\left|x-3\right|\le\delta$, entonces $\left|(5x+1)-16 \right|\le \varepsilon$
Empecemos acotando superiormente $\left|(5x+1)-16 \right|$:
$\left|(5x+1)-16 \right| = \left|5x-15 \right| = \left|5\,(x-3) \right|=5\,\left|x-3 \right|\prec 5\,\delta$; tomando ahora $\delta:=\dfrac{\varepsilon}{5}$, llegamos a $\left|(5x+1)-16 \right| \prec \varepsilon$, con lo cual queda probado que el valor del límite es $16$ $\square$
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