Cálculo de límites. Manejando indeterminaciones del tipo 1^{\infty}

ENUNCIADO. Calcular el límite $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3}$$

SOLUCIÓN.

Procedimiento 1:
Al pasar al límite, $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3} = \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,x/3}$, llegamos a una indeterminación del tipo $1^\infty$. Como sabemos que este tipo de indeterminaciones suelen llevar a una potencia de base el número $e$, como resultado, podemos la siguiente técnica: designemos por $L$ al resultado del supuesto límite, $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3}=L$$ Considerando la función del argumento del límite, la denominamos $f(x)=\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3}$ Sacando logaritmos neperianos en cada miembro de la igualdad, $$\ln\,\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,f(x) =\ln\,L$$ y, por la propiedad del límite del logaritmo, esto es equivalente a $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\ln(f(x)) =\ln\,L$$ y denotando $$\ell=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\ln(f(x))$$ con lo cual $$L=e^{\ell}$$

Procedamos pues a calcular $\ell$:
$\ell=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\ln\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\left(\dfrac{x}{3}\,\ln\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)\right)\overset{\infty\cdot 0}{=}\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{\ln\,(\dfrac{2x-1}{2x})}{3/x}\overset{\frac{0}{0}}{=}$

$=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{\ln\,(\dfrac{2x-1}{2x})}{3/x}\overset{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{\left(\ln\,(\dfrac{2x-1}{2x})\right)'}{(3/x)'}=$

$=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{\dfrac{2x}{2x-1}\cdot \left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)'}{-3/x^2}=-\dfrac{1}{3}\,\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{x}{2x-1}=-\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{6}$
con lo cual $$L=e^{-1/6}=\dfrac{1}{e^{1/6}}=\dfrac{1}{\sqrt[6]{e}}$$

Procedimiento 2:
Teniendo en cuenta que $\displaystyle \, \lim_{x \rightarrow \infty}\,\left(1+\dfrac{1}{g(x)}\right)^{g(x)}=e$, procedemos a escribir el argumento del límite de modo que su forma se pueda asimilar a la de la propiedad que acabamos de reseñar. Entonces,
$\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3}=\left(1+\dfrac{2x-1}{2x}-1\right)^{x/3}=\left(1+\dfrac{1}{(-2x)}\right)^{x/3}=$
$=\left(\left(\left(1+\dfrac{1}{(-2x)}\right)^{-2x}\right)^{\frac{1}{(-2x)}}\right)^{x/3}=\left(\left(1+\dfrac{1}{(-2x)}\right)^{-2x}\right)^{-\frac{1}{6}}$

Por consiguiente, $\displaystyle \, \lim_{x \rightarrow \infty}\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3}=\left(\displaystyle \, \lim_{x \rightarrow \infty}\,\left(\left(1+\dfrac{1}{(-2x)}\right)^{-2x}\right)\right)^{\displaystyle \, \lim_{x \rightarrow \infty}\,-\frac{1}{6}}=e^{-\frac{1}{6}}=\dfrac{1}{e^{1/6}}=\dfrac{1}{\sqrt[6]{e}}$
$\square$