Función derivable

La derivada de una función en un punto permite calcular el ritmo de crecimiento/decrecimiento de la misma en un punto donde pueda trazarse la recta tangente a la gráfica de la función, ya que representa el valor de la pendiente ( de la recta tangente ) en dicho punto.

Definición (Derivada de una función en un punto)
Una función real de una variable real $f:D\rightarrow \mathbb{R}$, donde $D \equiv \text{Dom}\,f=(a,b)\subset \mathbb{R}$ se dice derivable en $x_0 \in (a,b)$ si existe el límite $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}\,\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ donde $h\equiv \Delta\,x \succ 0$

Si denominamos $x:=x_0+h$ también podemos escribir lo anterior de la forma $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0}\,\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ Así pues, si dicho límite existe, denotamos por $f'(x_0)$ al valor de dicho límite, esto es $$f'(x_0)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}\,\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$ o lo que es lo mismo $$f'(x_0)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0}\,\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

Observación: Para que el límite que define la derivada en un punto exista -- y por consiguiente para que podamos decir que la función es derivable en dicho punto -- deberán existir los límites laterales y, además, tener el mismo valor. A dichos límites laterales solemos denominarlos derivada por la derecha, $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^+}\,\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$, y derivada por la izquierda, $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^-}\,\dfrac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}$, respectivamente; así que para que exista la derivada de una función en un punto la derivada lateral por la derecha ha de ser igual a la derivada lateral por la izquierda.

Nota: En algunos libros, la derivada lateral por la izquierda y la derivada lateral por la derecha se notan de la misma forma: $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^+}\,\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ y $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^-}\,\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Función derivada de una función dada
Si calculamos la función derivada en cada uno de los puntos del conjunto de puntos donde la función $f$ es derivable, llegamos al concepto de derivada de una función, que podemos notar de la forma $$f'(x)\overset{\text{Def}}{=}\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}\,\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

De la definición que acabamos de dar, se van deduciendo todas las reglas de derivación, cuya aplicación facilita el cálculo de la función derivada.

Así, por ejemplo, se demuestra que si $f(x)=x^n\,n\in \mathbb{N}$, entonces $f'(x)=n\,x^{n-1}$, cuya validez se prueba que puede extenderse a exponentes que sean, en general, números reales. También es interesante reseñar la regla de derivación de una función compuesta, llamada de la cadena: si $h(x)=(f\circ g)(x)$, esto es, $h(x)=f(g(x))$, entonces $h'(x)=f'(g(x))\,g'(x)$; la derivada de la función $f(x)=\ln\,x$ es $f'(x)=\dfrac{1}{x}$, y la de la función $f(x)=e^x$ es la misma función $f'(x)=e^x$. Es también útil recordar las derivadas de las funciones circulares: $(\sin(x))'=\cos(x)$; $(\sin(x))'=-\sin(x)$; $(\tan(x))'=\dfrac{1}{\cos^2\,(x)}$. La derivada de la función recíproca, cumple que $y'_{x}=\dfrac{1}{x'_y}$; aplicándola, se obtiene por ejemplo que $(\arctan\,(x))'=\dfrac{1}{1+x^2}$. Convendrá por tanto que el lector/a revise dichas reglas de derivación ya estudiadas en el curso anterior, pues la derivación -- al igual que el límite de funciones y la integración ( como también se estudiará en este mismo curso ) son herramientas indispensables para el cálculo y el análisis.

Observación 1: Otras formas de notar la función derivada son las siguientes $$f'(x)\equiv y'(x) \equiv (f(x))'\equiv D(f(x)) \equiv (Df)(x) \equiv \dfrac{df(x)}{dx} \equiv \dfrac{dy}{dx}$$

Observación 2: Otras formas de notar la función derivada de una función $f$ en un punto $x_0$ son las siguientes $$f'(x_0) \equiv y'(x_0) \equiv (Df)(x_0) \equiv \left(\dfrac{df}{dx}\right)_{x_0} \equiv \left(\dfrac{dy}{dx}\right)_{x_0}$$
$\square$