Límite de una función en un punto

ENUNCIADO. Demuéstrese que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3}\,(5x+1)=16$

SOLUCIÓN.
Recordemos que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\ell$ si para cualquier intervalo de centro $\ell$ existe un intervalo de centro $a$ de manera que todos los puntos de dicho intervalo distintos de $a$ tengan su imagen en el referido intervalo de centro $\ell$, esto es $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\ell$ si para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ ( que, en general, depende de $\varepsilon$ ) tal que si $x \in (a-\delta\,,\,a+\delta)$, siendo $x \neq a$, entonces $f(x) \in (\ell - \varepsilon,\,\,\ell + \epsilon)$

Dicho de otro modo, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\ell$ si para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ ( que, en general, depende de $\varepsilon$ ) tal que si $\left|x-a\right|\prec \delta$, entonces $\left|f(x)-\ell \right|\prec \varepsilon$

En nuestro, en caso concreto, debemos probar que para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ tal que si $\left|x-3\right|\le\delta$, entonces $\left|(5x+1)-16 \right|\le \varepsilon$

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Empecemos acotando superiormente $\left|(5x+1)-16 \right|$:
$\left|(5x+1)-16 \right| = \left|5x-15 \right| = \left|5\,(x-3) \right|=5\,\left|x-3 \right|\prec 5\,\delta$; tomando ahora $\delta:=\dfrac{\varepsilon}{5}$, llegamos a $\left|(5x+1)-16 \right| \prec \varepsilon$, con lo cual queda probado que el valor del límite es $16$ $\square$