Límite de una función real de variable real

Límite de una función en un punto
Sea una función real de variable real $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, decimos que el límite de dicha función tiene límite $\ell$ en $x=a$, y lo denotamos por $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\ell$, si para cualquier intervalo de centro $\ell$ existe un intervalo de centro $a$ de manera que todos los puntos de dicho intervalo distintos de $a$ tengan su imagen en el referido intervalo de centro $\ell$, esto es $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\ell$ si para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ ( que, en general, depende de $\varepsilon$ ) tal que si $x \in (a-\delta\,,\,a+\delta)$, siendo $x \neq a$, entonces $f(x) \in (\ell - \varepsilon,\,\,\ell + \epsilon)$

Dicho de otro modo, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\ell$ si para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ ( que, en general, depende de $\varepsilon$ ) tal que si $\left|x-a\right|\prec \delta$, entonces $\left|f(x)-\ell \right|\prec \varepsilon$

Unicidad del límite:
El límite, si existe, es único

Límites laterales:
Decimos que la función $f$ tiene límite $\ell_d$ por la derecha cuando $x$ tiende a $a$, y escribiremos $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^+}\,f(x)=\ell_d$ si $\forall\,\varepsilon \succ 0\; \exists\, \delta\, \succ 0$ tal que $a \prec x \prec a+\delta \Rightarrow \left|f(x)-\ell_d\right| \prec \varepsilon$

Decimos que la función $f$ tiene límite $\ell_i$ por la izquierda cuando $x$ tiende a $a$, y escribiremos $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^-}\,f(x)=\ell_i$ si $\forall\,\varepsilon \succ 0\; \exists \delta\, \succ 0$ tal que $a-\delta \prec x \prec a \Rightarrow \left|f(x)-\ell_i\right| \prec \varepsilon$

Observación: Si existe el límite de $f(x)$ en $x=a$, entonces los límites laterales han de existir y sus valores han de ser iguales al valor del límite, esto es $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\ell \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow a^-}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow a^+}\,f(x)=\ell$$ con lo cual debe cumplirse que $\ell_d=\ell_i=\ell$

Límites en el infinito
Decimos que una función $f$ tiende al límite $\ell$ cuando $x$ tiende a infinito, y escribimos $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,f(x)=\ell$, si y sólo si para todo $\varepsilon \succ 0$ existe un $M\succ 0$ tal que si $-M \prec x \prec M$ ( esto es, si $\left|x\right| \prec M$ ), entonces $\ell -\varepsilon \prec f(x) \prec \ell+\varepsilon$ ( o lo que es lo mismo, $\left|f(x)-\ell\right|\prec \varepsilon$ )

Límite superior y límite inferior
Se recurre a veces al límite superior e inferior cuando el límite global no existe. Suelen usarse estos límites trantando con sucesiones oscilantes, si bien son perfectamente aplicables a cualquier otro tipo de función. Recomiendo la lectura de este artículo de Wikipedia, en el que se explica esta idea con mucha claridad.

Ejemplo: Es claro que no existe el límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\sin(x)$, sin embargo sí que podemos hablar de los límites superior e inferior, respectivamente: $$\displaystyle \overline{\lim}_{x\rightarrow \pm\,\infty}\,sin(x)=+1$$ y $$\displaystyle \underline{\lim}_{x\rightarrow \pm\,\infty}\,sin(x)=-1$$

Límites infinitos

Decimos que $f(x)$ tiende a $+\infty$ cuando $x$ tiende a $a$, y escribiremos $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,f(x)=+\infty$ si y sólo si para todo $M \succ 0$ existe $\delta \succ 0$ tal que si $0 \prec \left|x-a\right| \prec \delta$, entonces $\left|f(x)\right| \succ M$

Decimos que $f(x)$ tiende a $-\infty$ cuando $x$ tiende a $a$, y escribiremos $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,f(x)=-\infty$ si y sólo si para todo $M \succ 0$ existe $\delta \succ 0$ tal que si $0 \prec \left|x-a\right| \prec \delta$, entonces $f(x) \prec -M$


Operaciones básicas con límites
Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=p$ y $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=q$, siendo $p,q \in \mathbb{R}$, entonces:

  P1. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}(f(x)+g(x))=p+q$

  P2. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}(k\,f(x)+g(x))=k\,p$, $\forall \, k\in \mathbb{R}$

  P3. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}(f(x)\cdot g(x))=p\cdot q$

  P4. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}(\dfrac{f(x)}{g(x)})=\dfrac{p}{q}$, si $q\neq 0$

Indeterminaciones:
Al pasar al límite podemos encontrarnos en situaciones que requieren pasos adicionales para resolver las llamadas indeterminaciones las siguientes:
$$\dfrac{\infty}{\infty}\,,\,\infty-\infty\,,\,\dfrac{\emptyset}{\emptyset}\,,\,1^{\infty}\,,\,\emptyset \cdot \infty\,,\,\infty^{\emptyset}\,,\,\emptyset^{\emptyset}$$ donde se ha empleado la siguiente notación: 1) $\infty$ (cantidad que crece o decrece indefinidamente); y, 2) $\emptyset$ ( cantidad que tiende a cero ). Cada una de estas siete indeterminaciones se resuelve mediante técnicas estándar, si bien, una misma indeterminación puede resolverse por varias vías, como ya se vió en el anterior curso.

Algunas propiedades a tener en cuenta en el cálculo de límites:

Equivalencias para cuando $x$ tiende a $0$. Diremos que $f(x) \sim g(x)$ si $\displaystyle \,\lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=1$. Las siguientes equivalencias pueden ser útiles para resolver ciertos límites: $\sin\,x \sim x$, $\tan\,x \sim x$, $e^x \sim x+1$, $\ln(x+1) \sim x$, $\cos\,x \sim 1 - \dfrac{x^2}{2}$

Una propiedad que resulta muy útil en los cálculos donde aparecen indeterminaciones del tipo $1^{\infty}$ es la siguiente $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \,(\ln\,f(x)) = \ln\, (\lim_{x \rightarrow a} \,f(x))$$

Dos proposiciones más que pueden ser claves en el cálculo de ciertos límites son las siguientes:

i) Sean $f,g$ y $h$ tres funciones definidas en un entorn de un punto $a$ tales que para cualquier $x \in ( a-r\,,\,a+r )$ con $r \succ 0$ se cumpla $f(x) \le g(x) \le h(x)$ y $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow a}\,h(x)=\ell$, entonces se cumple también que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,g(x)=\ell$

ii) Sean $f$ una función que, cuando $x$ tinde a $a$, su límite es cero ( $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=0$ ), y $g$ una función acotada, entonces $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x) \cdot g(x)=0$

$\square$

Límits de funcions

Càlcul de límits de funcions

Definició de límit d'una funció $f$ en $x=a$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=l$
La funció $f$ tendeix al límit $l$ en $a$ significa que
per a tot nombre real $\epsilon >0$ existeix algun $\delta >0 $ (un altre nombre real) tal que, per a tot $x$, si $\left| x-a \right|< \delta$, llavors $\left| f(x)-l \right|< \epsilon $ ( Referencia: M. Spivak: Calculus, 2a edició, Reverté, 1991)


Cal tenir en compte que si aquest límit global existeix, es desprèn de la pròpia definició que els límits laterals per l'esquerra i per la dreta han d'existir i han de tenir el mateix valor:
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^{+}}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow a^{-}}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow a}\,f(x)$

Notació alternativa:
Els límits laterals també es poden veure escrits de la següent manera:
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^{+}}\,f(x)=\lim_{x \downarrow a}\,f(x)$     límit lateral per la dreta
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^{-}}\,f(x)=\lim_{x \uparrow a}\,f(x)$     límit lateral per l'esquerra


Definició de límit d'una funció $f$ en $x=a$ per la dreta
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^{+}}\,f(x)=l_d$
significa que
per a tot nombre real $\epsilon >0$ existeix algun $\delta >0 $ (un altre nombre real) tal que, per a tot $x$, si $0 < x-a < \delta$, llavors $\left|f(x)-l_d \right|< \epsilon $ Definició de límit d'una funció $f$ en $x=a$ per l'esquerra $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^{-}}\,f(x)=l_e$ significa que per a tot nombre real $\epsilon >0$ existeix algun $\delta >0 $ (un altre nombre real) tal que, per a tot $x$, si $0 < a-x < \delta$, llavors $\left|f(x)-l_e\right|< \epsilon $

Pràctiques:

Estudieu els següents límits:

      a)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}$

      b)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}$

      c)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}$

      d)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^{+}}\;\dfrac{1}{3-x}$

      e)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^{-}}\;\dfrac{1}{3-x}$

      f)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3}\;\dfrac{1}{3-x}$

      g)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}}\;\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+3\,x^2+3\,x+1}$

      h)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\;\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+3\,x^2+3\,x+1}$

      i)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\;\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+3\,x^2+3\,x+1}$

      j)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}$

      k)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}$

      l)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}$

Ajut: Mireu les gràfiques de les funcions dels arguments dels límits fent ús de GeoGebra, tot reflexionant sobre la definició de límit lateral per la dreta/esquerra. En algun d'aquests exercics, els límits laterals no coincideixen; o, fins i tot, algun d'aquests no existeix, raons per les quals el límit global - en aquests casos - no existeix.