Raíces de una función continua en un cierto intervalo

ENUNCIADO:
Demostrar que la función $f(x)=x^5+x-5$ tiene exactamente una raíz.

SOLUCIÓN:

Observemos que si intentamos resolver la ecuación $f(x)=0$ para encontrar las raíces de la función pedida, no podemos hacerlo de forma exacta; debería, pues, hacerse de forma aproximada; de ahí la pregunta formulada, aunque no nos piden que encontremos el valor de la raíz sino simplemente se nos pide que justifiquemos la afirmación del enunciado: "la función pedida sólo tiene una raíz". Para ello, vamos a utilizar el Teorema de Rolle y el Teorema de Bolzano.

Según el Teorema de Rolle, el número de raíces de una función continua en un intervalo $[a,b]$ ( en este caso en toda la recta numérica ) y derivable en $(a,b)$ ( en este caso es derivable en toda la recta numérica ) es igual, a lo sumo, al número de ráices de la función derivada más uno. Veamos, pues, cuántas raíces tiene la función derivada
$f'(x)=5x^4+1$; para ello, igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante: $5x^4+1=0$. Esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales, por tanto, el número de raíces, $n$, de $f'(x)$ es cero ( $n=0$ ). Entonces, como ya hemos comentado, por el Teorema de Rolle, el máximo número de raíces de $f(x)$ es $n+1$, que en el caso que nos ocupa es $0+1=1$.

Sólo nos queda, ahora, demostrar que existe dicha raíz. Observemos que $f(0)=-5 \prec 0$ y $f(2) \succ 0$, presentado un cambio de signo en el intervalo $[0,2]$, de lo cual deducimos que, al ser continua la función, según el teorema de Bolzano, ésta corta al eje de abscisas al menos en un punto de dicho intervalo. Y como hemos visto, por el Teorema de Rolle, que el número máximo de dichos puntos de corte ( raíces ) es $1$, queda probado que la función pedida tiene exactamente una raíz. $\square$