Funciones continuas

Definición (Continuidad en un punto).

Sea $f$ una función realde una variable real $f:D \rightarrow \mathbb{R}$, donde $D=\text{Dom}\,f$ y consideremos un valor $a \in \mathbb{R}$. Diremos que $f$ es continua en $a$ si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:
i) $a \in \text{Dom}\,f$
ii) Existe el límite $\displaystyle \, \lim_{x\rightarrow a}\,f(x) \in \mathbb{R}$, al que llamaremos $\ell$
iii) $f(a)=\ell$

Dicho de otro modo, $f$ es continua en $a$ si y sólo si para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ ( que, en general, depende de $\varepsilon$ ) tal que si $0 \prec \left|x-a\right|\prec \delta$, entonces $\left|f(x)- f(a) \right|\prec \varepsilon$


Definición (Continuidad lateral por la derecha).
Diremos que $f$ es continua en $a$ por la derecha si y sólo si para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ ( que, en general, depende de $\varepsilon$ ) tal que si $0 \prec \left|x-a\right|\prec \delta$ y $x \succ a$, entonces $\left|f(x)- f(a) \right|\prec \varepsilon$

Definición (Continuidad lateral por la izquierda).
Diremos que $f$ es continua en $a$ por la derecha si y sólo si para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ ( que, en general, depende de $\varepsilon$ ) tal que si $0 \prec \left|x-a\right|\prec \delta$ y $x \prec a$, entonces $\left|f(x)- f(a) \right|\prec \varepsilon$

Proposición. Una función $f$ es continua en $a$ si y sólo si es continua por la derecha y por la izquierda en $a$

Tipos de discontinuidades en un punto $x=a$:
  1. De primera especie (los límites laterales existen, dando valores finitos o bien infinitos)
    i) Evitable (el límite de la función existe cuando $x\rightarrow a$ pero su valor no coincide con $f(a)$ o bien $f$ no está definida en $x=a$. Esta discontinuidad se dice evitable porque redefiniendo el valor de $f$ en ese punto, desaparece la discontinuidad)
    ii) No evitable
        ii.1) De salto finito ( los límites laterales existen, pero no coinciden sus valores )
        ii.2) De salto infinito ( uno de los límites laterales es infinito y el otro es finito )
    ii.3 ) Asintótica ( si los dos límites laterales son infinitos )
  2. Esenciales o de segunda especie (no existe alguno de los límites laterales o bien la función no está definida a la derecha o a la izquierda de $x=a$ )

Propiedades:
Sean $f$ y $g$ funciones continuas en el punto $a\in \mathbb{R}$, entonces:
P1) $f+g$ es continua en $a$
P2) $k\,f$ es continua en $a$, para todo $k\in\mathbb{R}$
P3) $f \cdot g$ es continua en $a$
P4) $f/g$ es continua en $a$, siempre que $g(x)\neq 0$
P5) las funciones compuestas $g\circ f$ y $f\circ g$ son continuas en $a$




Definición ( Continuidad en un intervalo ).
1) Una función es continua en un intervalo abierto $(a,b)$ si y sólo si es continua en todos los puntos del intervalo.
2) Una función es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ si y sólo si es continua en todos los puntos del interior del intervalo y es continua por la derecha en $b$ y por la izquierda en $a$