Teoremas básicos acerca de funciones continuas y derivables

TEOREMAS BÁSICOS SOBRE CONTINUIDAD

Teorema de Weierstrass. Una función real de variable real, $f(x)$, continua en un intervalo cerrado y acotado, entonces dicha función está acotada y alcanza la menor de las cotas superiores ( supremo ) y la mayor de las cotas inferiores ( ínfimo ) dentro del mismo, es decir, alcanza los valores máximo y mínimo en puntos de dicho intervalo. En otras palabras, existen $x_1,x_2 \in [a,b]$ tales que $f(x_1)=\text{min}\,\{f(x)\}$ y $f(x_2)=\text{max}\,\{f(x)\}$

Nota: Desde luego, al hablar aquí de máximo y mínimo, no debe entenderse que éstos han de ser necesariamente máximos y mínimos relativos ( locales ).

Teorema de Bolzano. Sea $f(x)$ una función real de variable real, continua en un intervalo cerrado, y tal que en sus extremos los valores de función son de signos opuestos, entonces existe por lo menos una raíz de la función que pertenece a dicho intervalo.

Corolario (Teorema de los valores intermedios)
Con las premisas del teorema de Bolzano, se tiene que para cualquier $f(a) \le k \le f(b)$ existe al menos un valor $c \in [a,b]$ tal que $f(c)=k$

Nota: No debe confundirse el teorema de los valores intermedios con el teorema del valor medio ( o teorema de Lagrange ), que se expondrá a continuación.

TEOREMAS BÁSICOS SOBRE DERIVABILIDAD DE FUNCIONES CONTINUAS EN UN CIERTO INTERVALO

Teorema de Fermat. Sea $f(x)$ una función real de variable real, definida en cierto entorno del punto $x_0$, siendo tal que en dicho punto la función es derivable, y toma en él el valor máximo ó el v. mínimo, entonces $f'(x_0)=0$


Teorema de Rolle. Sea $f(x)$ una función real de variable real, continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$; entonces, si $f(a)=f(b)$ existe por lo menos un punto $c \in (a,b)$ tal que $f'(c)=0$.

Teorema de Lagrange ( o del valor medio). Sea $f(x)$ una función real de variable real, continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$; entonces existe al menos un punto $c \in (a,b)$ tal que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en este punto es igual a la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$, esto es, $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Teorema de Cauchy. Sean dos funciones reales de variable real, $f(x)$ y $g(x)$, continuas en un intervalo cerrado $[a,b]$ y derivables en $(a,b)$; entonces existe al menos un punto $c \in (a,b)$ tal que $\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

Observación: Una consecuencia de este teorema es la regla de L'Hôpital, muy útil para trabajar con indeterminaciones en el cálculo de límites:
i) Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,g(x)=0$ y existe $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$, entonces $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$$

ii) Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,g(x)=\infty$ y existe $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$, entonces $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$$

$\square$