Acerca de la derivada en la cinemática

Consideremos una trayectoria rectilínea de un móvil puntual. Sea $x(t)$ la posición del mismo ( con respecto al origen de coordenadas del sistema de referencia ) en cada instante de tiempo. La tasa de cambio en la posición viene dada por $\dfrac{\Delta\,x}{\Delta\,t}$, entonces llamamos velocidad del móvil a la tasa de variación instantánea de la cantidad $x$, esto es, a la derivada de la función $x(t)$, es decir $\dfrac{dx}{dt}$, que es a su vez otra función del tiempo, y que en los libros de física suele notarse como $\dot{x}(t)$. De manera análoga, describimos la aceleración en un instante de tiempo dado como la tasa de variación instantánea de la velocidad, por lo que podemos hablar de la función aceleración ( para cada instante ) tenemos un valor de la tasa de variación instantánea: $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dx}{dt}\right)$ que, en los libros de física suele notarse ( por comodidad ) de la forma $\ddot{x}(t)$.

Extendiendo la idea, a una trayectoria en el espacio euclídeo de más de una dimensión, pongamos que en el espacio tridimensional, la posición del móvil en un instante de tiempo dado viene dada por $(x(t),y(t),z(y))$, que es una terna que da las coordenadas del vector de posición del móvil $\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$ y representa, en general, una curva en el espacio.

Así que la velocidad, $\vec{v}\equiv \dfrac{d\,\vec{r}(t)}{dt}=(\dot{x}(t),\dot{y}(t),\dot{z}(t))$, esto es, la derivada del vector de posición en el instante $t$ tiene también, desde luego, pleno caracter vectorial, por lo que decimos que la velocidad en cada instante de tiempo viene dada por una función vectorial ( lo cual extiende de manera natural la noción de función escalar ). Observación: Llamamos celeridad al módulo de dicho vector de posición en el intstante $t$, esto es $c(t)=\left\|\vec{\dot{r}}\right\|$, que es una función escalar.

Desde luego, la aceleración tiene ( en el espacio ) a su vez pleno caracter vectorial, por lo que podemos escribir que en un instante $t$ la aceleración asociada es el vector $\vec{a}\equiv \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\,\vec{r}(t)}{dt}\right)=\dfrac{d\,\vec{v}(t)}{dt}=(\ddot{x}(t),\ddot{y}(t),\ddot{z}(t))$

Ejemplo
ENUNCIDADO. La trayectoria de una partícula en el espacio viene dada por $\vec{r}(t)=(1,t,t^2)$. Calcúlese el vector velocidad, la celeridad, y el vector aceleración en cada instante de tiempo.

SOLUCIÓN. Derivando el vector de posición en cada instante de tiempo, obtenemos $\vec{v}(t)=\dfrac{\vec{r}(t)}{dt}=(0,1,2t)$, luego la celeridad en cada instante de tiempo viene dada por $c(t)=\sqrt{0^2+1^2+(2t)^2}=\sqrt{4\,t^2+1}$; por lo que respecta al vector aceleración ( en cada instante ), éste se obtiene derivando las coordenadas del vector de velocidad, por lo que viene dado por $\vec{a}(t)=\dfrac{\vec{v}(t)}{dt}=(0,0,2)$, que en este caso resulta ser constante y actuando únicamente en la tercera dimensión del espacio.
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