El cuerpo de los números reales

El conjunto de los números reales $(\mathbb{R},+,\cdot)$ cumple los siguientes axiomas:
1.i) La operación suma es interna
1.ii) La operación suma es asociativa
1.iii) La operación suma es conmutativa
1.iv) Existe un elemento neutro para la suma, que es el $0$
1.v) Todo elemento tiene opuesto con respecto a la suma

2.i) La operación producto $\cdot$ es interna
2.ii) La operación producto es asociativa
2.iii) La operación producto es conmutativa
2.iv) Existe un elemento neutro para la multiplicación, que es el $1$
2.v) Todo elemento, salvo el $0$, tiene inverso

3. El producto es distributivo con respecto de la suma

4. Existe en $\mathbb{R} una relación de orden; para todo $x \in \mathbb{R}$ se cumple:
4.i) Reflexiva: $x \le x$ (
4.ii) Antisimétrica: si $x \le y$ e $y \le x$, entonces $x=y$
4.iii) Transitiva: si $x \le y$ e $y \le z$, entonces $x \le z$
4.iv) La relación de orden es total: para cualesquiera $x,y \in \mathbb{R}$, entonces: o bien $x \prec y$ o bien $x=y$ o bien $y \prec x$

4.v) Para todo $x \in \mathbb{R}$ se cumple que si $y\le z$ ( $y,z \in \mathbb{R}$ ), entonces $x+y \le x+z$
4.vi) Si $y \le z$ y $0\le x$, entonces $x\,y \le x\,z$

5) Principio del supremo ( véanse las notas de abajo ): Todo subconjunto no vacío de $\mathbb{R}$ acotado superiormente admite supremo

NOTAS:
Cota superior de un subconjunto $X$ de $\mathbb{R}$
Decimos que un elemento $a \in \mathbb{R}$ es una cota superior de $X$ si para todo $x \in X$ se cumple que $x \le a$. Si un conjunto $X$ tiene, al menos, una cota superior decimos que $X$ está acotado superiormente. La menor de las cotas superior se denomina supremo, y lo designamos $\text{sup}\,X$

Cota inferior de un subconjunto $X$ de $\mathbb{R}$
Decimos que un elemento $a \in \mathbb{R}$ es una cota inferior de $X$ si para todo $x \in X$ se cumple que $a \le x$. Si un conjunto $X$ tiene, al menos, una cota inferior decimos que $X$ está acotado superiormente. La mayor de las cotas inferiores se denomina ínfimo, y lo designamos $\text{ínf}\,X$

Conjunto acotado
Si un conjunto $X \subset \mathbb{R}$ está acotado superior e inferiormente, decimos que está acotado.

OBSERVACIONES:
1) $\mathbb{R}$ es un cuerpo arquimediano, pues se cumple que para todo número real $x$ existe un número natural $n$ tal que $x \prec n$